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E-book

Vorkurs Mathematik für Ingenieure für Dummies

ISBN: 978-3-527-66918-9
462 pages
May 2013
Vorkurs Mathematik für Ingenieure für Dummies (3527669183) cover image

Table of Contents

Über den Autor 9

Danksagung 9

Einleitung 25

Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand vieler Beispiele 25

Überall praktische Beispiele 25

Törichte Annahmen über den Leser 26

Konventionen in diesem Buch 26

Wie dieses Buch strukturiert ist 27

Teil I: Zahlen und Rechenoperationen 27

Teil II: Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen 27

Teil III: Funktionen, Folgen und Reihen 27

Teil IV: Keine Angst vor Geometrie 27

Teil V: Differentiation und Integralrechnung für eine Variable 28

Teil VI: Differentiation und Integralrechnung für zwei Variablen 28

Teil VII: Der Top-Ten-Teil 28

Die Symbole in diesem Buch 29

Den modularen Aufbau für sich nutzen 29

Teil I Zahlen und Rechenoperationen 31

Kapitel 1 Zahlen und Grundrechenarten 33

Mathematik und ihre natürlichen Zahlen 33

Eigenschaften der Grundrechenarten 35

Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen 36

Aufgaben mit Klammern richtig lösen 39

Aus ganz wird rational – Bruchrechnung mal anders 39

Rationale Zahlen und ihre Dezimalbrüche 42

Und plötzlich wird’s irrational… und real! 44

Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen 46

Das Summenzeichen 47

Kapitel 2 Rechnen mit Polynomen, Potenzen und Logarithmen 49

Alles über Mengen 49

Mengen im Supermarkt? 49

Alles, nichts, oder? – Spezielle Mengen 50

Von Zahlen, Mengen und Intervallen 52

Mit Mengen einfach rechnen können 52

Venn-Diagramme 56

Prozentrechnung für den Alltag 58

Nur zwei Prozent Mieterhöhung 59

Das eigene Heim trotz Provision? 59

Die Bären kommen – Sinkende Aktienkurse 59

Bullen im Vormarsch – Steigende Kurse 59

Wie viele Bullen hätten die Bären gezähmt? 60

Immer auf die genaue Formulierung achten 60

Preissenkungsschnäppchen mitnehmen 60

Zinsrechnung zum Verstehen 61

Lohnender Zinsertrag 61

Höhe des Zinssatzes für Ihre Träume 61

Suche nach dem Startkapital 62

Taggenaue Zinsen 62

Kapitalwachstum: Zinseszins 62

Eine feste Anlage für zehn Jahre 63

Das sich verdoppelnde Kapital bei festem Zins 63

Das sich verdoppelnde Kapital bei fester Jahresanzahl 64

Keine Angst vor Wurzeln und Potenzen 64

Kapitel 3 Logische Grundlagen und Beweismethoden 65

Logische Grundlagen 65

Wahre und falsche Aussagen 65

Aussagen verknüpfen 66

Die Mathematik als Sprache erkennen 67

Terme als die Worte im mathematischen Satz 68

Formeln sind die Sätze der mathematischen Sprache 68

Mit Quantoren neue Formeln bilden 69

Notwendige und hinreichende Bedingungen 71

Die Unendlichkeit – unzählige Welten? 73

Mit abzählbaren Mengen zählen lernen 73

Jenseits der Zählbarkeit – überabzählbare Mengen 75

Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik 76

Methode 1: Direkter Beweis 77

Methode 2: Indirekter Beweis 77

Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung 79

Methode 4: Beweis durch vollständige Induktion 80

Kapitel 4 Grundlagen von Gleichungen und Ungleichungen 83

Gleichungen in Angriff nehmen 83

Ungleichungen in den Griff bekommen 88

Beträge ins Spiel bringen 89

Teil II Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen 93

Kapitel 5 Nicht reell aber real – die komplexen Zahlen 95

Was komplexe Zahlen wirklich sind 95

Komplexe Rechenoperationen 96

Die komplexe Addition 97

Die komplexe Multiplikation 97

Die Konjugierte einer komplexen Zahl 97

Die komplexe Division 98

Zusammenhänge zwischen den komplexen Operationen 98

Komplexe quadratische Gleichungen 99

Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 100

Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 101

Der Betrag einer komplexen Zahl 101

Einmal Polarkoordinaten und zurück 102

Umwandlung in Polarkoordinaten aus Koordinaten 103

Umwandlung in Koordinaten aus Polarkoordinaten 103

Komplexe Potenzen und Wurzeln 104

Anwendungen komplexer Zahlen 106

Kapitel 6 Die Grundlagen: Allgemeine Vektorräume und lineare Gleichungssysteme 109

Vektoren erleben 109

Vektoren veranschaulichen 111

Mit Vektoren anschaulich rechnen 112

Mit Vektoren rechnen 113

Betrag eines Vektors berechnen 116

Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 117

Schöne Vektorraumteilmengen: Untervektorräume bestimmen 119

Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 122

Arten von Linearen Gleichungssystemen 125

Homogene Gleichungssysteme 126

Inhomogene Gleichungssysteme 126

Überbestimmte Gleichungssysteme 127

Unterbestimmte Gleichungssysteme 128

Quadratische Gleichungssysteme 128

Nicht lösbare Gleichungssysteme 129

Graphische Lösungsansätze für LGS 130

Kapitel 7 Vektoren im dreidimensionalen Raum: Punkte, Geraden und Ebenen 131

Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 131

Punkte im Raum 131

Parametergleichung für Geraden 132

Zweipunktegleichung für Geraden 134

Parametergleichung für Ebenen 135

Dreipunktegleichung für Ebenen 136

Koordinatengleichung für Ebenen 136

Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 137

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 139

Kollision während einer Flugshow in Las Vegas? 146

Kapitel 8 Überleben in der Welt der Matrizen 149

Was Matrizen eigentlich sind 149

Addition von Matrizen 150

Skalarmultiplikation von Matrizen 151

Multiplikation von Matrizen 151

Matrizen in Produktionsprozessen 152

Transponierte und symmetrische Matrizen 154

Keine Angst vor inversen Matrizen 154

Matrizen und lineare Gleichungssysteme 155

Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 156

Der Rang von Matrizen 161

Matrizen invertieren in der Praxis 162

Kriterien für die Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 163

Kriterien für die Lösbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen 164

Matrizen und lineare Abbildungen 164

Lineare Abbildungen an Beispielen 165

Matrizen als lineare Abbildungen 166

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Theorie 166

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Praxis 167

Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 169

Matrizen und ihre Determinanten 171

Determinanten von 2 × 2-Matrizen 171

Determinanten von 3 × 3-Matrizen 171

Determinanten von allgemeinen Matrizen 172

Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 175

Die Cramersche Regel 175

Die Inversen mittels der Adjunktenformel berechnen 178

Flächen und Volumina mittels Determinanten berechnen 179

Kreuzprodukt von Vektoren 180

Praktische Anwendung: Spiegelungen und Drehungen in der Ebene 182

Drehungen in der Ebene 182

Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 185

Spiegelungen in der Ebene 185

Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 187

Teil III Funktionen, Folgen und Reihen 189

Kapitel 9 Was Funktionen sind! 191

Was Funktionen eigentlich sind 191

Graphische Darstellung von Funktionen 193

Polynome einfach verstehen 194

Bruchrechnung: Rationale Funktionen 197

Keine Angst vor der Polynomdivision 198

Rasch wachsende Exponentialfunktionen 200

Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 201

Von Umkehr- und inversen Funktionen 202

Trigonometrische Funktionen 203

Trigonometrische Funktionen zeichnen 204

Identifikation (von und) mit trigonometrischen Identitäten 205

Trigonometrische Kehrwert- und Umkehrfunktionen 205

Kapitel 10 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen 209

Grenzwerte einer Funktion verstehen 209

Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff 209

Links- und rechtsseitige Grenzwerte 210

Die formale Definition eines Grenzwertes – wie erwartet! 211

Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 211

Grenzwerte für x gegen unendlich 212

Stetigkeit von Funktionen 213

Einfache Grenzwerte auswerten 216

Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 216

Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 217

Methode 1: Faktorisieren 217

Methode 2: Konjugierte Multiplikation 217

Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 218

Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 218

Grenzwerte bei unendlich auswerten 221

Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 221

Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 222

Kapitel 11 Von Folgen und Reihen 223

Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 223

Folgen aneinanderreihen 223

Reihen summieren 227

Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 229

Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 229

Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen

auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 230

Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz 233

Quotienten- und Wurzelkriterium 236

Alternierende Reihen 238

Absolute oder normale Konvergenz – das ist die Frage! 238

Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen 239

Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 242

Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 244

Potenzreihen (er)kennen 244

Konvergenzbereich von Potenzreihen 246

Rechnen Sie mit Potenzreihen 247

Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 248

Teil IV Keine Angst vor Geometrie 251

Kapitel 12 Von Winkeln, Geraden und Dreiecken: Grundlagen der Geometrie 253

Geraden, Strahlen und Winkel 253

Winkel an geschnittenen Geraden 256

Strecken in der Ebene 257

Mit den Strahlensätzen rechnen 257

Goldener Schnitt 259

Das allgemeine Dreieck 261

Das gleichschenklige Dreiecke 262

Das gleichseitige Dreieck 263

Das rechtwinklige Dreieck 263

Interessante Schnittpunkte in Dreiecken 264

Dreiecke und ihre Seitenhalbierende samt Schwerpunkte 265

Dreiecke und ihr Mittelsenkrechte samt Umkreise 265

Dreiecke und ihre Winkelhalbierende samt Inkreisen 266

Dreiecke und ihre Höhenschnittpunkt 266

Kongruenz von Dreiecken 267

Ähnlichkeit von Dreiecken 269

Kapitel 13 Elementare Figuren der Geometrie in Ebene und Raum 271

Die zweidimensionale Welt: Von Vierecken über n-Ecke zu Kreisen 271

Vierecke (er)kennen lernen 271

Allgemeine und regelmäßige n-Ecke 277

Keine Angst vor Kreisen 279

Geometrische Körper – die dreidimensionale Welt 283

Die Welt der Prismen 284

Es mit Pyramiden auf die Spitze treiben 286

Zylinder aus Prismen entwickeln 289

Aus Pyramiden werden Kegel 290

Die Kugel – schlicht und makellos 291

Ein komplexeres Beispiel aus der Praxis: Optimale Blechbehälter gesucht! 293

Platonische Körper genießen 294

Teil V Differential- und Integralrechnung für eine Variable 297

Kapitel 14 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 299

Erste Schritte des Ableitens 299

Steigungen gesucht! 299

Steigung von Geraden 300

Steigungen von Parabeln 302

Der Differenzenquotient 303

Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 307

Grundlegende Regeln der Differentiation 309

Die Konstantenregel 309

Die Potenzregel 309

Die Koeffizientenregel 309

Die Summenregel – und die kennen Sie schon 310

Trigonometrische Funktionen differenzieren 310

Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 310

Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 311

Die Produktregel 312

Die Quotientenregel 312

Die Kettenregel 312

Implizite Differentiation 315

Logarithmische Differentiation 317

Differentiation von Umkehrfunktionen 317

Keine Angst vor höheren Ableitungen 319

Kapitel 15 Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 321

Kurvendiskussion einmal praktisch veranschaulicht 321

Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 322

Bauchgefühle: Konvexität und Wendepunkte 322

Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 323

Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 323

Achtung – Nicht auf der Spitze stecken bleiben 323

Halten Sie sich fest – nun geht’s bergab! 323

Jetzt wird’s kritisch an den Punkten! 324

Lokale Extremwerte finden 325

Die kritischen Werte suchen 325

Der Test mit der ersten Ableitung – wachsend oder fallend? 326

Der Test mit der zweiten Ableitung – Krümmungsverhalten! 327

Globale Extremwerte über einem abgeschlossenem Intervall finden 328

Globale Extrempunkte über den gesamten Definitionsbereich finden 330

Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen 332

Die Graphen von Ableitungen – jetzt wird gezeichnet! 334

Der Zwischenwertsatz – Es geht nichts verloren 336

Der Mittelwertsatz – Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 338

Das nützliche Taylorpolynom 339

Die Regel von l’Hospital 343

Nicht akzeptable Formen in Form bringen 344

Kombinieren der Methoden – nur Geduld! 344

Kapitel 16 Eindimensionale Integration 347

Flächenberechnung – eine Einführung 347

Flächen mithilfe von Rechtecksummen annähern 348

Exakte Flächen mithilfe des bestimmten Integrals ermitteln 352

Stammfunktionen suchen – rückwärts Ableiten 354

Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 355

Flächenfunktion beschreiben 356

Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 358

Die erste Version des Hauptsatzes 358

Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 361

Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen 363

Kapitel 17 Integrale praktisch lösen – Tipps und Tricks 365

Stammfunktionen finden – Drei grundlegende Techniken 365

Umkehrregeln für Stammfunktionen 365

Genial einfach: Raten und Prüfen 366

Die Substitutionsmethode 367

Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 370

Partielle Integration: Teile und Herrsche! 371

Wählen Sie weise! 372

Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 374

Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 374

Kapitel 18 Spezielle Integrale praktisch lösen – Tipps und Tricks 377

Integrale mit Sinus und Kosinus 377

Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 377

Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 378

Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ 378

Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche 379

Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 380

Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 381

Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren in höherer Potenz 382

Bonusrunde – Der Koeffizientenvergleich 383

Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 384

Grau ist alle Theorie – Praktische Integrale! 384

Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 385

Bogenlängen bestimmen 387

Oberflächen von einfachen Rotationskörpern bestimmen 389

Teil VI Differential- und Integralrechnung für zwei Variablen 391

Kapitel 19 Kurvendiskussion von Funktionen zweier Variablen 393

Funktionen mehrerer Variabler graphisch darstellen 393

Mit Schnitten und Niveau zum Erfolg 396

Schnitte von Graphen 396

Höhen- und Niveaulinien von Graphen 397

Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler 398

Partielle Ableitungen – auch hier ein Kinderspiel 401

Unabhängiges Pärchen: Partielle Ableitungen und Stetigkeit 403

Tangentialebenen als Tangenten-Alternative 403

Volles Programm: Totale Differenzierbarkeit 404

Gewünschte Zugabe: Totales Differential 404

Rechenregeln des Ableitens für Funktionen mehrerer Variablen 405

Implizite Funktionen differenzieren können 407

Höhere Ableitungen: Hilfe durch den Satz von Schwarz 408

Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variabler 410

Kritische Punkte von Funktionen in höheren Dimensionen 410

Hinreichende Kriterien für Extrema und Sattelpunkte 412

Hinreichende Kriterien für Funktionen in zwei Variablen 413

Extremwerte unter Nebenbedingungen 415

Nebenbedingung mithilfe des Lagrangeschen Ansatzes lösen 415

Nebenbedingung mithilfe des Einsetzverfahrens lösen 418

Kopf an Kopf Rennen – beide Verfahren im direkten Vergleich 419

Kapitel 20 Grundlagen der Differentialgleichungen 425

Einführende Gedanken zu Differentialgleichungen 425

Mit Isoklinen zur Lösung 426

Die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit 428

Einfache Spezialfälle von Differentialgleichungen 429

Der einfachste Fall: y¢ = f (x) 429

Der Fall: y¢ = f (x) ◊ g(y) – Trennung der Variablen 429

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 431

Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 431

Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 432

Praktische Lösungsmethode: Variation der Konstanten 433

Systeme gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 434

Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 436

Inhomogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 439

Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 440

Äquivalenz einer Differentialgleichung n-ter Odnung mit einem System erster Ordnung 441

Lineare Differentialgleichungen n-ter Odnung lösen 442

Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Odnung 442

Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 443

Spezielle Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 444

Anwendungen in der Schwingungslehre 446

Teil VII Der Top-Ten-Teil 449

Kapitel 21 Zehn Ratschläge für einen erfolgreichen Abschluss Ihres Mathekurses 451

Der Kurs beginnt pünktlich in der ersten Vorlesung 451

Besuchen Sie die Vorlesungen und Übungen 451

Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften 452

Schauen Sie auch in die Bücher 452

Lösen Sie die wöchentlichen Übungsaufgaben 452

Gruppenarbeit nicht ausnutzen 452

Lernen Sie nicht nur für die Klausur 453

Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher 453

Aus Fehlern lernen 453

Der eigene Kurs ist immer der wichtigste! 454

Zu guter Letzt … 454

Stichwortverzeichnis 455

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Author Information

Dr. Thoralf Rasch ist Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universitat Bonn und unterrichtet Mathematik in den naturwissenschaftlichen Bachelorstudiengangen. Daruber hinaus versucht er in verschiedenen Projekten in Berlin und Bonn, interessierte Schuler von der Faszination der Mathematik zu uberzeugen. Thoralf Rasch studierte an der Humboldt-Universitat zu Berlin und promovierte am Institut fur Mathematik an der Universitat Potsdam. Er ist Autor von "Mathematik fur Naturwissenschaftler fur Dummies" und "Mathematik der Physik fur Dummies".
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