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E-book

Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies

ISBN: 978-3-527-66921-9
418 pages
May 2013
Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies (3527669213) cover image

Table of Contents

Über den Autor 9

Danksagung 9

Einleitung 23

Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand vieler Beispiele 23

Überall praktische Beispiele 23

Törichte Annahmen über den Leser 24

Konventionen in diesem Buch 24

Wie dieses Buch strukturiert ist 25

Teil I: Zahlen und Rechenoperationen 25

Teil II: Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen 25

Teil III: Funktionen, Folgen und Reihen 25

Teil IV: Keine Angst vor Geometrie 26

Teil V: Differentiation und Integralrechnung 26

Teil VI: Der Top-Ten-Teil 26

Die Symbole in diesem Buch 26

Den modularen Aufbau für sich nutzen 27

Teil I Zahlen und Rechenoperationen 29

Kapitel 1 Zahlen und Grundrechenarten 31

Mathematik und ihre natürlichen Zahlen 31

Eigenschaften der Grundrechenarten 33

Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen 34

Aufgaben mit Klammern richtig lösen 37

Aus ganz wird rational – Bruchrechnung mal anders 37

Rationale Zahlen und ihre Dezimalbrüche 40

Und plötzlich wird’s irrational… und real! 42

Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen 44

Das Summenzeichen 45

Kapitel 2 Rechnen mit Polynomen, Potenzen und Logarithmen 47

Alles über Mengen 47

Mengen im Supermarkt? 47

Alles, nichts, oder? – Spezielle Mengen 48

Von Zahlen, Mengen und Intervallen 50

Mit Mengen einfach rechnen können 50

Venn-Diagramme 54

Prozentrechnung für den Alltag 56

Nur zwei Prozent Mieterhöhung 57

Das eigene Heim trotz Provision? 57

Die Bären kommen – Sinkende Aktienkurse 57

Bullen im Vormarsch – Steigende Kurse 57

Wie viele Bullen hätten die Bären gezähmt? 58

Immer auf die genaue Formulierung achten 58

Preissenkungsschnäppchen mitnehmen 58

Zinsrechnung zum Verstehen 59

Lohnender Zinsertrag 59

Höhe des Zinssatzes für Ihre Träume 59

Suche nach dem Startkapital 60

Taggenaue Zinsen 60

Kapitalwachstum: Zinseszins 60

Eine feste Anlage für zehn Jahre 61

Das sich verdoppelnde Kapital bei festem Zins 61

Das sich verdoppelnde Kapital bei fester Jahresanzahl 62

Keine Angst vor Wurzeln und Potenzen 62

Kapitel 3 Logische Grundlagen und Beweismethoden 63

Logische Grundlagen 63

Wahre und falsche Aussagen 63

Aussagen verknüpfen 64

Die Mathematik als Sprache erkennen 65

Terme als die Worte im mathematischen Satz 66

Formeln sind die Sätze der mathematischen Sprache 66

Mit Quantoren neue Formeln bilden 67

Notwendige und hinreichende Bedingungen 69

Die Unendlichkeit – unzählige Welten? 71

Mit abzählbaren Mengen zählen lernen 71

Jenseits der Zählbarkeit – überabzählbare Mengen 73

Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik 74

Methode 1: Direkter Beweis 75

Methode 2: Indirekter Beweis 75

Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung 77

Methode 4: Beweis durch vollständige Induktion 78

Kapitel 4 Grundlagen der Gleichungen und Ungleichungen 81

Gleichungen in Angriff nehmen 81

Ungleichungen in den Griff bekommen 85

Beträge ins Spiel bringen 87

Teil II Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen 91

Kapitel 5 Nicht reell aber real – die komplexen Zahlen 93

Was komplexe Zahlen wirklich sind 93

Komplexe Rechenoperationen 94

Die komplexe Addition 95

Die komplexe Multiplikation 95

Die Konjugierte einer komplexen Zahl 95

Die komplexe Division 96

Zusammenhänge zwischen den komplexen Operationen 96

Komplexe quadratische Gleichungen 97

Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 98

Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 99

Der Betrag einer komplexen Zahl 99

Einmal Polarkoordinaten und zurück 100

Umwandlung in Polarkoordinaten aus Koordinaten 101

Umwandlung in Koordinaten aus Polarkoordinaten 101

Komplexe Potenzen und Wurzeln 102

Anwendungen komplexer Zahlen 104

Kapitel 6 Die Grundlagen: Allgemeine Vektorräume und lineare Gleichungssysteme 107

Vektoren erleben 107

Vektoren veranschaulichen 109

Mit Vektoren anschaulich rechnen 110

Mit Vektoren rechnen 111

Betrag eines Vektors berechnen 114

Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 115

Schöne Vektorraumteilmengen: Untervektorräume bestimmen 117

Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 120

Arten von Linearen Gleichungssystemen 123

Homogene Gleichungssysteme 124

Inhomogene Gleichungssysteme 124

Überbestimmte Gleichungssysteme 125

Unterbestimmte Gleichungssysteme 126

Quadratische Gleichungssysteme 126

Nicht lösbare Gleichungssysteme 127

Graphische Lösungsansätze für LGS 128

Kapitel 7 Vektoren im dreidimensionalen Raum: Punkte, Geraden und Ebenen 129

Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 129

Punkte im Raum 129

Parametergleichung für Geraden 130

Zweipunktegleichung für Geraden 132

Parametergleichung für Ebenen 133

Dreipunktegleichung für Ebenen 134

Koordinatengleichung für Ebenen 134

Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 135

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 137

Kollision während einer Flugshow in Las Vegas? 144

Kapitel 8 Überleben in der Welt der Matrizen 147

Was Matrizen eigentlich sind 147

Addition von Matrizen 148

Skalarmultiplikation von Matrizen 149

Multiplikation von Matrizen 149

Matrizen in Produktionsprozessen 150

Transponierte und symmetrische Matrizen 152

Keine Angst vor inversen Matrizen 152

Matrizen und lineare Gleichungssysteme 153

Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 154

Der Rang von Matrizen 159

Matrizen invertieren in der Praxis 160

Kriterien für die Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 161

Kriterien für die Lösbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen 162

Matrizen und lineare Abbildungen 162

Lineare Abbildungen an Beispielen 163

Matrizen als lineare Abbildungen 164

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Theorie 164

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Praxis 165

Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 167

Matrizen und ihre Determinanten 169

Determinanten von 2 × 2-Matrizen 169

Determinanten von 3 × 3-Matrizen 169

Determinanten von allgemeinen Matrizen 170

Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 173

Die Cramersche Regel 173

Die Inversen mittels der Adjunktenformel berechnen 176

Flächen und Volumina mittels Determinanten berechnen 177

Kreuzprodukt von Vektoren 178

Praktische Anwendung: Spiegelungen und Drehungen in der Ebene 180

Drehungen in der Ebene 180

Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 183

Spiegelungen in der Ebene 183

Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 185

Teil III Funktionen, Folgen und Reihen 187

Kapitel 9 Was Funktionen sind! 189

Was Funktionen eigentlich sind 189

Graphische Darstellung von Funktionen 191

Polynome einfach verstehen 192

Bruchrechnung: Rationale Funktionen 195

Keine Angst vor der Polynomdivision 196

Rasch wachsende Exponentialfunktionen 198

Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 199

Von Umkehr- und inversen Funktionen 200

Trigonometrische Funktionen 201

Trigonometrische Funktionen zeichnen 202

Identifikation (von und) mit trigonometrischen Identitäten 203

Trigonometrische Kehrwert- und Umkehrfunktionen 203

Kapitel 10 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen 207

Grenzwerte einer Funktion verstehen 207

Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff 207

Links- und rechtsseitige Grenzwerte 208

Die formale Definition eines Grenzwertes – wie erwartet! 209

Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 209

Grenzwerte für x gegen unendlich 210

Stetigkeit von Funktionen 211

Einfache Grenzwerte auswerten 214

Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 214

Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 215

Methode 1: Faktorisieren 215

Methode 2: Konjugierte Multiplikation 215

Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 216

Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 216

Grenzwerte bei unendlich auswerten 219

Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 219

Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 220

Kapitel 11 Von Folgen und Reihen 221

Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 221

Folgen aneinanderreihen 221

Reihen summieren 225

Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 227

Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 227

Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen

auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 228

Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz 231

Quotienten- und Wurzelkriterium 234

Alternierende Reihen 236

Absolute oder normale Konvergenz – das ist die Frage! 236

Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen 237

Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 240

Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 242

Potenzreihen (er)kennen 242

Konvergenzbereich von Potenzreihen 244

Rechnen Sie mit Potenzreihen 245

Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 246

Teil IV Keine Angst vor Geometrie 249

Kapitel 12 Von Winkeln, Geraden und Dreiecken: Grundlagen der Geometrie 251

Geraden, Strahlen und Winkel 251

Winkel an geschnittenen Geraden 254

Strecken in der Ebene 255

Mit den Strahlensätzen rechnen 255

Goldener Schnitt 257

Das allgemeine Dreieck 259

Das gleichschenklige Dreiecke 260

Das gleichseitige Dreieck 261

Das rechtwinklige Dreieck 261

Interessante Schnittpunkte in Dreiecken 262

Dreiecke und ihre Seitenhalbierende samt Schwerpunkte 263

Dreiecke und ihr Mittelsenkrechte samt Umkreise 263

Dreiecke und ihre Winkelhalbierende samt Inkreisen 264

Dreiecke und ihre Höhenschnittpunkt 264

Kongruenz von Dreiecken 265

Ähnlichkeit von Dreiecken 267

Kapitel 13 Elementare Figuren der Geometrie in Ebene und Raum 269

Die zweidimensionale Welt: Von Vierecken über n-Ecke zu Kreisen 269

Vierecke (er)kennen lernen 269

Allgemeine und regelmäßige n-Ecke 275

Keine Angst vor Kreisen 277

Geometrische Körper – die dreidimensionale Welt 281

Die Welt der Prismen 282

Es mit Pyramiden auf die Spitze treiben 284

Zylinder aus Prismen entwickeln 287

Aus Pyramiden werden Kegel 288

Die Kugel – schlicht und makellos 289

Ein komplexeres Beispiel aus der Praxis: Optimale Blechbehälter gesucht! 290

Platonische Körper genießen 292

Teil V Differential- und Integralrechnung für eine Variable 295

Kapitel 14 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 297

Erste Schritte des Ableitens 297

Steigungen gesucht! 297

Steigung von Geraden 298

Steigungen von Parabeln 300

Der Differenzenquotient 301

Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 305

Grundlegende Regeln der Differentiation 307

Die Konstantenregel 307

Die Potenzregel 307

Die Koeffizientenregel 308

Die Summenregel – und die kennen Sie schon 308

Trigonometrische Funktionen differenzieren 308

Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 308

Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 310

Die Produktregel 310

Die Quotientenregel 310

Die Kettenregel 310

Implizite Differentiation 314

Logarithmische Differentiation 315

Differentiation von Umkehrfunktionen 315

Keine Angst vor höheren Ableitungen 317

Kapitel 15 Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 319

Kurvendiskussion einmal praktisch veranschaulicht 319

Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 320

Bauchgefühle: Konvexität und Wendepunkte 320

Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 321

Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 321

Achtung – Nicht auf der Spitze stecken bleiben 321

Halten Sie sich fest – nun geht’s bergab! 321

Jetzt wird’s kritisch an den Punkten! 322

Lokale Extremwerte finden 323

Die kritischen Werte suchen 323

Der Test mit der ersten Ableitung – wachsend oder fallend? 324

Der Test mit der zweiten Ableitung – Krümmungsverhalten! 325

Globale Extremwerte über einem abgeschlossenem Intervall finden 326

Globale Extrempunkte über den gesamten Definitionsbereich finden 328

Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen 330

Die Graphen von Ableitungen – jetzt wird gezeichnet! 331

Der Zwischenwertsatz – Es geht nichts verloren 334

Der Mittelwertsatz – Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 335

Das nützliche Taylorpolynom 337

Die Regel von l’Hospital 341

Nicht akzeptable Formen in Form bringen 342

Kombinieren der Methoden – nur Geduld! 342

Kapitel 16 Eindimensionale Integration 345

Flächenberechnung – eine Einführung 345

Flächen mithilfe von Rechtecksummen annähern 346

Exakte Flächen mithilfe des bestimmten Integrals ermitteln 350

Stammfunktionen suchen – rückwärts Ableiten 352

Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 354

Flächenfunktion beschreiben 354

Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 356

Die erste Version des Hauptsatzes 357

Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 360

Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen 361

Kapitel 17 Integrale praktisch lösen – Tipps und Tricks 365

Stammfunktionen finden – Drei grundlegende Techniken 365

Umkehrregeln für Stammfunktionen 365

Genial einfach: Raten und Prüfen 366

Die Substitutionsmethode 367

Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 370

Partielle Integration: Teile und Herrsche! 371

Wählen Sie weise! 372

Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 374

Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 374

Kapitel 18 Spezielle Integrale praktisch lösen – Tipps und Tricks 377

Integrale mit Sinus und Kosinus 377

Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 377

Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 378

Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ 378

Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche 379

Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 380

Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 381

Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren in höherer Potenz 382

Bonusrunde – Der Koeffizientenvergleich 383

Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 384

Grau ist alle Theorie – Praktische Integrale! 385

Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 385

Bogenlängen bestimmen 387

Oberflächen von einfachen Rotationskörpern bestimmen 389

Teil VI Der Top-Ten-Teil 389

Kapitel 19 Zehn häufig gemachte Fehler im (Stochastik-)Alltag 391

Vergessen, dass eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegen muss 391

Kleine Wahrscheinlichkeiten fehlinterpretieren 392

Falsche Schlussfolgerungen durch Vergleiche ziehen 392

Wahrscheinlichkeiten für kurzfristige Vorhersagen verwenden 392

Nicht glauben, dass 1-2-3-4-5-6 gewinnen kann 392

An Serien beim Würfeln glauben 393

Jeder Situation eine 50-50-Chance einräumen 393

Bedingte Wahrscheinlichkeiten verwechseln 393

Unabhängigkeit von Ereignissen annehmen 394

Und zu guter Letzt: Das Ziegenproblem 394

Kapitel 20 Zehn interessante Ansätze der Physik 397

Lorentz und die relativen Geschwindigkeiten 397

Dopplers Effekte 399

Keplers Planetengesetze 399

Galileis Fallgesetz 399

Newtons Trägheitsgesetz 400

Maxwell und seine Gleichungen 400

Plancks Wirkung 400

Schrödingers Gleichung 401

Heisenbergsche Unschärfe 401

Einsteins E=mc2 und seine spezielle Theorie zur Relativität 402

Bonusrunde: Einsteins allgemeine Relativitätstheorie 402

Kapitel 21

Zehn Ratschläge für einen erfolgreichen Abschluss Ihres Mathekurses 405

Der Kurs beginnt pünktlich in der ersten Vorlesung 405

Besuchen Sie die Vorlesungen und Übungen 405

Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften 406

Schauen Sie auch in die Bücher 406

Lösen Sie die wöchentlichen Übungsaufgaben 406

Gruppenarbeit nicht ausnutzen 406

Lernen Sie nicht nur für die Klausur 407

Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher 407

Aus Fehlern lernen 407

Der eigene Kurs ist immer der wichtigste! 408

Zu guter Letzt… 408

Stichwortverzeichnis 409

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Author Information

Dr. Thoralf Rasch ist Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universitat Bonn und unterrichtet Mathematik in den naturwissenschaftlichen Bachelorstudiengangen. Daruber hinaus versucht er in verschiedenen Projekten in Berlin und Bonn interessierte Schuler von der Faszination der Mathematik zu uberzeugen. Thoralf Rasch studierte an der Humboldt-Universitat zu Berlin und promovierte am Institut fur Mathematik an der Universitat Potsdam. Er ist Autor von "Mathematik fur Naturwissenschaftler fur Dummies" und "Mathematik der Physik fur Dummies".
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