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E-book

Logik für Dummies

ISBN: 978-3-527-68726-8
351 pages
January 2016
Logik für Dummies (3527687262) cover image

Table of Contents

Einführung 21

Über dieses Buch 21

Konventionen in diesem Buch 22

Was Sie nicht unbedingt lesen müssen 23

Törichte Annahmen über den Leser 23

Wie dieses Buch aufgebaut ist 23

Teil I: Ein kurzer Überblick über die Logik 23

Teil II: Formale Aussagenlogik 24

Teil III: Beweise, Syntax und Semantik in der Aussagenlogik 24

Teil IV: Prädikatenlogik 24

Teil V: Moderne Entwicklungen in der Logik 24

Teil VI: Der Top-Ten-Teil 25

In diesem Buch verwendete Symbole 25

Wie es weitergeht 25

Teil I Ein kurzer Überblick über die Logik 27

Kapitel 1 Logik – was ist das eigentlich? 29

Wie man die Dinge logisch sieht 29

Wie man von der Frage zur Antwort kommt 30

Was Ursache und Wirkung miteinander zu tun haben 30

Alles und noch mehr 32

Sein oder Nichtsein 32

Wichtige Wörter in der Logik 33

Wie man Argumente konstruiert 33

Wie man Prämissen aufstellt 34

Wie man mit Zwischenschritten zur Antwort gelangt 34

Wie man eine Konklusion formuliert 34

Wie man entscheidet, ob das Argument gültig ist 35

Was sind Enthymeme? 35

Logische Schlüsse: leicht gemacht durch Denkgesetze 35

Der Satz der Identität 36

Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten 36

Das Gesetz der Nichtwidersprüchlichkeit 36

Wie man Logik und Mathematik miteinander kombiniert 37

Die Mathematik hilft, die Logik zu verstehen 37

Die Logik hilft, die Mathematik zu verstehen 37

Kapitel 2 Die Geschichte der Logik von Aristoteles bis zum Computer 39

Die klassische Logik – von Aristoteles bis zur Aufklärung 39

Aristoteles erfindet die syllogistische Logik 40

Euklids Axiome und Theoreme 43

Chrysippos und die Stoiker 44

Die Logik macht Urlaub 44

Die moderne Logik – das 17., 18. und 19. Jahrhundert 45

Leibniz und die Frühaufklärung 45

Der Ausbau zur formalen Logik 46

Freges formale Logik 48

Die Logik im 20. und 21. Jahrhundert 49

Die nichtklassische Logik 50

Gödels Beweis 50

Das Computerzeitalter 51

Auf der Suche nach der endgültigen Grenze 51

Kapitel 3 Die Hauptsache: das Argument 53

Was ist Logik? 53

Wie man die Argumentstruktur prüft 54

Die Gültigkeitsprüfung 55

Weitere Beispiele für Argumente 56

Eis am Sonntag 57

Fiffis Kummer 57

Flucht aus Berlin 58

Der Fall des schlecht gelaunten Mitarbeiters 58

Was Logik nicht ist 59

Denken kontra Logik 60

Die Wirklichkeit – was für ein Begriff! 61

Die Schlüssigkeit eines Arguments 61

Deduktion und Induktion 63

Rhetorische Fragen 64

Wozu dient eigentlich die Logik? 66

Wähl eine Zahl (Mathematik) 66

Flieg mit mir zumMond (Wissenschaft) 67

Schalt ein oder aus (Computerwissenschaft) 67

Erzählen Sie das dem Richter (Recht) 67

Finden Sie den Sinn des Lebens (Philosophie) 68

Teil II Formale Aussagenlogik 69

Kapitel 4 Formales 71

Wichtig: die Formalitäten bei der Aussagenlogik 71

Aussagenkonstanten 72

Aussagenvariablen 72

Wahrheitswerte 73

Die fünf Operatoren der Aussagenlogik 73

Negativ fühlen 74

Nach dem »oder« graben 77

Nun wird es aber heikel 79

Nun wird es sogar noch heikler 81

Warum Aussagenlogik wie einfache Arithmetik ist 83

Die Ein- und Ausgabe von Werten 83

Für einen Stellvertreter gibt es keinen Ersatz 84

Wir setzen Klammern 85

Lost in Translation 85

Der einfache Weg – das Übersetzen aus der Aussagenlogik ins Deutsche 86

Der nicht-so-einfache Weg – das Übersetzen aus dem Deutschen in die Aussagenlogik 87

Kapitel 5 Der Wert der Bewertung 91

Der Wert ist das Entscheidende 91

Wie man mit der Bewertung von Aussagen vertraut wird 92

Wie man ein weiteres Verfahren ausprobiert 94

Wie man eine Aussage macht 95

Wie man Teilaussagen ermittelt 95

Wie man eine Aussage eingrenzt 96

Der Hauptanziehungspunkt: die Suche nach den Hauptoperatoren 98

Die acht verschiedenen Aussagen in der Aussagenlogik 100

Teile vom Ganzen 100

Kommen wir auf die Bewertung zurück 101

Kapitel 6 Wie man mit Wahrheitstafeln Aussagen bewertet 103

Kommen Sie mal nach vorne an die Tafel! Von der Freude an der rohen Gewalt 103

Die erste Wahrheitstafel für Abc-Schützen 104

Wie man eine Wahrheitstafel erstellt 104

Wie man eine Wahrheitstafel ausfüllt 107

Wie man eine Wahrheitstafel analysiert 110

Wie man Wahrheitstafeln einsetzt 110

Wie man es mit Tautologien und Kontradiktionen aufnimmt 110

Woran man semantische Äquivalenz erkennt 111

Wie man konsistent bleibt 113

Wie man sich um die Gültigkeit streitet 115

Wie man die Teile zusammensetzt 117

Wie man Tautologie und Kontradiktion miteinander verbindet 118

Wie man semantische Äquivalenz und Tautologie miteinander verbindet 119

Wie man Inkonsistenz und Kontradiktion miteinander verbindet 120

Wie man Gültigkeit und Kontradiktion miteinander verbindet 121

Kapitel 7 Die einfache Lösung: Wie man Schnelltafeln erstellt 123

Wie man der Wahrheitstafel wegen einer neuen Freundin den Laufpass gibt: die Schnelltafel 124

Eine kurze Zusammenfassung des Schnelltafelverfahrens 125

Wie man eine strategische Annahme aufstellt 125

Wie man eine Schnelltafel ausfüllt 126

Wie man eine Schnelltafel deutet 126

Wie man eine Annahme widerlegt 127

Wie man seine Strategie plant 128

Tautologie 128

Kontradiktion 129

Logisch nicht determinierte Aussagen 129

Semantische Äquivalenz oder Nichtäquivalenz 129

Konsistenz und Inkonsistenz 130

Gültigkeit und Ungültigkeit 130

Wie man mit Schnelltafeln eleganter arbeitet 131

Wie man die sechs einfachsten Typen von Aussagen erkennt und mit ihnen arbeitet 131

Wie man mit den vier nicht-so-einfachen Aussagentypen arbeitet 133

Wie man die sechs schwierigen Aussagentypen bewältigt 135

Kapitel 8 Die Wahrheit wächst auf Bäumen 139

Wie Wahrheitsbäume funktionieren 139

Wie man Aussagen zerlegt 140

Wie man mit Bäumen Aufgaben löst 142

Wie man Konsistenz oder Inkonsistenz aufzeigt 142

Wie man auf Gültigkeit oder Ungültigkeit testet 145

Wie man Tautologien, Kontradiktionen und logisch nicht determinierte Aussagen voneinander trennt 147

Tautologien 147

Kontradiktionen 150

Logisch nicht determinierte Aussagen 153

Wie man auf semantische Äquivalenz testet 153

Teil III Beweise, Syntax und Semantik in der Aussagenlogik 157

Kapitel 9 Was müssen Sie beweisen? 159

Wie man von der Prämisse zur Konklusion gelangt 159

Wie man in der Aussagenlogik die Implikationsregeln anwendet 161

Die →-Regeln: Modus ponens und Modus tollens 161

Die &-Regeln: Konjunktion und Simplifikation 164

Die -Regeln: Addition und disjunktiver Syllogismus 167

Die beiden →-Regeln: hypothetischer Syllogismus und konstruktives

Dilemma 169

Kapitel 10 Chancengleichheit: wie man den Äquivalenzregeln Arbeit verschafft 173

Wie man Implikationen und Äquivalenzen voneinander unterscheidet 173

Warum Äquivalenzen wahre Tausendsassa sind 174

Wie man Äquivalenzen von einem Teil auf das Ganze anwendet 174

Woran man die zehn gültigen Äquivalenzen erkennt 174

Doppelte Negation (DN) 175

Kontraposition (Kontra) 175

Implikation (Impl) 176

Exportation (Exp) 178

Kommutation (Kom) 179

Assoziation (Ass) 179

Distribution (Dist) 180

DeMorgan-Theorem (DeM) 182

Tautologie (Taut) 183

Äquivalenz (Äquiv) 183

Kapitel 11 Konditionalbeweise und indirekte Beweise 187

Wie man die Prämissen mit dem Konditionalbeweis aufarbeitet 187

Wir lernen den Konditionalbeweis kennen 188

Wie man Änderungen an der Konklusion vornimmt 190

Wie man Annahmen aussondert 192

Indirekt denken: Wie man Argumente mit indirekten Beweisen beweist 193

Was ist ein indirekter Beweis? 194

Wie man kurze Konklusionen beweist 195

Wie man Konditionalbeweise und indirekte Beweise miteinander kombiniert 196

Kapitel 12 Wie man alles zusammenpackt:

strategisch vorgehen, um jeden Beweis blitzschnell zu knacken 199

Leichte Beweise: den richtigen Ansatz wählen 200

Schauen Sie sich die Aufgabe an 200

Schreiben Sie den leichten Kram auf 201

Wie geht es weiter? 203

Moderate Beweise: Wann wendet man den Konditionalbeweis an? 203

Die drei freundlichen Formen: x→y, x y und (x & y) 204

Die beiden weniger freundlichen Formen: x↔y und ~(x↔y) 205

Die drei unfreundlichen Formen: x & y, ~(x y) und ~(x → y) 207

Schwierige Beweise: Was macht man, wenn es immer komplizierter wird? 207

Treffen Sie überlegt eine Wahl zwischen einem direkten und einem indirekten Beweis 207

Arbeiten Sie sich rückwärts von der Konklusion ab vor 209

Vertiefen Sie sich in die Aussagen der Aussagenlogik 211

Zerlegen Sie lange Prämissen 214

Stellen Sie eine scharfsinnige Vermutung an 216

Kapitel 13 Einer für alle und alle für einen 219

Wie man sich mit den fünf Operatoren der Aussagenlogik behelfen kann 219

Stellenabbau – eine wahre Geschichte 221

Die Tyrannei der Macht 222

Es kommt zum Aufstand 222

Die Zwickmühle 223

Der geniale Shefferstrich 224

Die Moral von der Geschicht’ 225

Kapitel 14 Syntaktische Manöver und semantische Betrachtungen 227

Wohlgeformte Formeln (WFF) und nichtwohlgeformte 227

Was sind WFFs? 228

Die Regeln werden gelockert 229

WFFs werden von den Nicht-WFFs getrennt 230

Der Vergleich zwischen Aussagenlogik und boolescher Algebra 231

Die Zeichen lesen 231

Mathematik betreiben 233

Syntax und Semantik der booleschen Algebra erforschen 234

Teil IV Prädikatenlogik 235

Kapitel 15 Wie man Quantität mit Qualität ausdrückt: Die Prädikatenlogik stellt sich vor 237

Werfen wir einen kurzen Blick auf die Prädikatenlogik 238

Wie man Individuenkonstanten und Eigenschaftskonstanten einsetzt 238

Die Operatoren der Aussagenlogik kommen ins Spiel 240

Wofür die Individuenvariablen stehen 241

Wie sich Quantität mit zwei neuen Operatoren ausdrücken lässt 242

Was ist ein Allquantor? 242

Wie man »Es gibt-Aussagen« einfängt 243

Der jeweilige Individuenbereich 244

Wie man Aussagen und Aussageformen auseinanderhält 246

Wie man den Skopus eines Quantors bestimmt 246

Wir entdecken gebundene Variablen und freie Variablen 247

Welcher Unterschied besteht zwischen Aussagen und Aussageformen? 247

Kapitel 16 Übersetzungen in die Prädikatenlogik 249

Wie man die vier Grundformen kategorischer Aussagen übersetzt 249

»Alle« und »einige« 249

»Nicht alle« und »kein« 252

Alternative Übersetzungen der Grundformen 253

Wie man »alle« mit ∃ und ~ übersetzt 253

Wie man »einige« mit ∀ und ~ übersetzt 254

Wie man »nicht alle« mit ∃ übersetzt 254

Wie man »kein« mit ∀ übersetzt 255

Wie man maskierte Aussagen identifiziert 255

»Alle«-Aussagen erkennen 256

»Einige«-Aussagen erkennen 256

»Nicht alle«-Aussagen erkennen 256

»Kein«-Aussagen erkennen 257

Kapitel 17 Mit der Prädikatenlogik die Gültigkeit von Argumenten beweisen 259

Wie man Regeln aus der Aussagenlogik in der Prädikatenlogik einsetzt 259

Der Vergleich von Aussagen der Aussagenlogik und der Prädikatenlogik 260

Wie man die acht Implikationsregeln der Aussagenlogik in die Prädikatenlogik überträgt 260

Wie man in der Prädikatenlogik die zehn Äquivalenzregeln einsetzt 263

Wie man Aussagen mithilfe der Quantorennegation (QN) transformiert 263

Die Quantorennegation stellt sich vor 264

Wie man QN bei Beweisen einsetzt 265

Die vier Quantorenregeln 266

Leichte Regel Nr. 1: die universelle Instanziierung (UI) 267

Leichte Regel Nr. 2: die existenzielle Generalisierung 270

Die nicht-so-einfache Regel Nr. 1: die existenzielle Instanziierung (EI) 272

Die nicht-so-einfache Regel Nr. 2: die universelle Generalisierung (UG) 276

Kapitel 18 Gute Beziehungen und positive Identitäten 281

Was sind Relationen? 281

Wie man Relationen definiert und nutzt 282

Wie man relationale Ausdrücke miteinander verknüpft 283

Wie man Quantoren bei Relationen verwendet 283

Wie man mit mehreren Quantoren arbeitet 284

Wie man Beweise mit Relationen erstellt 286

Wie man Identitäten identifiziert 288

Was sind Identitäten? 289

Wie man Beweise mit der Identität erstellt 289

Kapitel 19 Wir pflanzen viele Bäumchen 293

Wie Sie Ihr Wissen über Wahrheitsbäume in der Prädikatenlogik anwenden können 293

Der Einsatz der Zerlegungsregeln aus der Aussagenlogik 293

UI, EI und QN gesellen sich dazu 295

Der wiederholte Einsatz von UI 297

Nicht-endende Bäume 300

Teil V Moderne Entwicklungen in der Logik 303

Kapitel 20 Computerlogik 305

Frühe Computer 305

Babbage entwirft die ersten Computer 305

Turing und seine Turing-Maschine 306

Das moderne Computerzeitalter 308

Hardware und logische Gatter 308

Software und Computersprachen 310

Kapitel 21 Die nichtklassische Logik 313

Die Tür zum Möglichen wird aufgestoßen 313

Die dreiwertige Logik 314

Die mehrwertige Logik 315

Die Fuzzy-Logik 316

Klären wir die Modalitäten! 318

Wie man mit Aussagen in indirekter Rede umgeht 320

Die Logik einer höheren Ordnung 320

Über die Konsistenz hinaus 321

Wir setzen zumQuantensprung an 322

Ein Quäntchen Quantenlogik 323

Wir spielen das Hütchenspiel 323

Kapitel 22 Paradoxe und axiomatische Systeme 325

Die Fundierung der Logik durch die Mengenlehre 325

Die Anordnung der Dinge 326

Der Ärger mit dem Paradox: wie man dieses Problemmit der Mengenlehre angeht 327

Die Lösung des Problems in den Principia Mathematica 328

Die Aussagenlogik als axiomatisches System 329

Wie man Korrektheit und Vollständigkeit beweist 330

Korrektheit und Vollständigkeit von Aussagenlogik und Prädikatenlogik 331

Wie das Hilbert-Programm Logik und Mathematik formalisiert 331

Gödels Unvollständigkeitssatz 332

Die Bedeutung des gödelschen Unvollständigkeitssatzes 332

Wie er es anstellte 332

Was hat das alles zu bedeuten? 333

Teil VI Der Top-Ten-Teil 335

Kapitel 23 Zehn Zitate zur Logik 337

Kapitel 24 Zehn große Persönlichkeiten der Logik 339

Aristoteles (384–322 v. Chr.) 339

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) 339

George Boole (1815–1864) 339

Lewis Carroll (1832–1898) 340

Georg Cantor (1845–1918) 340

Gottlob Frege (1848–1925) 340

Bertrand Russell (1872–1970) 341

David Hilbert (1862–1943) 341

Kurt Gödel (1906–1978) 341

Alan Turing (1912–1954) 342

Stichwortverzeichnis 343

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