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Mathematik der Physik für Dummies

ISBN: 978-3-527-70576-4
432 pages
June 2011
Mathematik der Physik für Dummies (3527705767) cover image

Table of Contents

Über die Autoren 10

Danksagung 10

Einleitung 21

Zweiter Teil für Naturwissenschaftler oder höhere Mathematik 21

Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand von Beispielen 21

Überall praktische Beispiele 22

Törichte Annahmen über den Leser 22

Konventionen in diesem Buch 23

Wie dieses Buch strukturiert ist 23

Teil I: Eindimensionale Analysis 23

Teil II: Lineare Algebra 24

Teil III: Komplexe Analysis und Differentialgleichungen 24

Teil IV: Mehrdimensionale Analysis 24

Teil V: Der Top-Ten-Teil 25

Die Symbole in diesem Buch 25

Den modularen Aufbau für sich nutzen 25

Teil I Eindimensionale Analysis 27

Kapitel 1 Grundlagen der Analysis 29

Was Funktionen eigentlich sind 29

Graphische Darstellung von Funktionen 31

Polynome einfach verstehen 32

Bruchrechnung: Rationale Funktionen 35

Rasch wachsende Exponentialfunktionen 36

Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 38

Von Umkehr- und inversen Funktionen 39

Trigonometrische Funktionen 40

Trigonometrische Funktionen zeichnen 41

Identifikation mit trigonometrischen Identitäten 42

Grenzwerte einer Funktion verstehen 42

Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff 43

Links- und rechtsseitige Grenzwerte 44

Die formale Definition eines Grenzwertes – wie erwartet! 44

Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 45

Grenzwerte für x gegen unendlich 46

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 46

Einfache Grenzwerte auswerten 49

Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 49

Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 49

Methode 1: Faktorisieren 49

Methode 2: Konjugierte Multiplikation 50

Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 51

Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 51

Grenzwerte bei unendlich auswerten 53

Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 53

Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 54

Kapitel 2 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 55

Erste Schritte des Ableitens 55

Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 56

Grundlegende Regeln der Differentiation 58

Die Konstantenregel 58

Die Potenzregel 58

Die Koeffizientenregel 59

Die Summenregel – und die kennen Sie schon 59

Trigonometrische Funktionen differenzieren 59

Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 59

Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 61

Die Produktregel 61

Die Quotientenregel 61

Die Kettenregel 61

Implizite Differentiation 65

Logarithmische Differentiation 66

Differentiation von Umkehrfunktionen 66

Keine Angst vor höheren Ableitungen 68

Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 69

Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 70

Bauchgefühle: Konvexität und Wendepunkte 70

Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 71

Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 71

Achtung – Nicht auf der Spitze stecken bleiben 71

Halten Sie sich fest – nun geht’s bergab! 71

Jetzt wird’s kritisch an den Punkten! 72

Lokale Extremwerte finden 73

Die kritischen Werte suchen 73

Der Test mit der ersten Ableitung – wachsend oder fallend? 74

Der Test mit der zweiten Ableitung – Krümmungsverhalten! 75

Globale Extremwerte finden 76

Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen 78

Die Graphen von Ableitungen – jetzt wird gezeichnet! 80

Der Zwischenwertsatz – Es geht nichts verloren 83

Der Mittelwertsatz – Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 85

Das nützliche Taylorpolynom 86

Die Regel von l’Hospital 90

Nicht akzeptable Formen in Form bringen 91

Kombinieren der Methoden – nur Geduld! 92

Kapitel 3 Von Folgen und Reihen 93

Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 93

Folgen aneinanderreihen 93

Reihen summieren 96

Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 99

Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 99

Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz

beziehungsweise Divergenz 100

Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz 102

Quotienten- und Wurzelkriterium 105

Alternierende Reihen 108

Absolute oder normale Konvergenz – das ist die Frage! 108

Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen 109

Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 112

Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 114

Potenzreihen (er)kennen 114

Konvergenzbereich von Potenzreihen 115

Rechnen Sie mit Potenzreihen 117

Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 117

Kapitel 4 Eindimensionale Integration 119

Das bestimmte Integral – Flächen berechnen 119

Stammfunktionen suchen – rückwärts Ableiten 121

Flächenfunktionen beschreiben 122

Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 122

Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 124

Stammfunktionen finden – Drei grundlegende Techniken 127

Umkehrregeln für Stammfunktionen 127

Genial einfach: Raten und Prüfen 128

Die Substitutionsmethode 129

Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 131

Partielle Integration: Teile und Herrsche! 132

Wählen Sie weise! 134

Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 136

Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 136

Integrale mit Sinus und Kosinus 137

Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 137

Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 138

Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ 138

Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche 139

Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 140

Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 141

Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren in höherer Potenz142

Bonusrunde – Der Koeffizientenvergleich 142

Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 143

Grau ist alle Theorie – Praktische Integrale! 144

Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 144

Bogenlängen bestimmen 147

Oberflächen von einfachen Rotationskörpern bestimmen 149

Teil II Lineare Algebra 151

Kapitel 5 Die Grundlagen: Vektorräume und lineare Gleichungssysteme 153

Vektoren erleben 153

Vektoren veranschaulichen 155

Mit Vektoren anschaulich rechnen 156

Mit Vektoren rechnen 157

Betrag eines Vektors berechnen 160

Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 161

Schöne Vektorraumteilmengen: Untervektorräume bestimmen 164

Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 166

Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 169

Arten von Linearen Gleichungssystemen 170

Homogene Gleichungssysteme 171

Inhomogene Gleichungssysteme 171

Überbestimmte Gleichungssysteme 172

Unterbestimmte Gleichungssysteme 172

Quadratische Gleichungssysteme 173

Nicht lösbare Gleichungssysteme 174

Graphische Lösungsansätze für LGS 174

Kapitel 6 Überleben in der Welt der Matrizen 175

Was Matrizen eigentlich wirklich sind 175

Addition von Matrizen 176

Skalarmultiplikation von Matrizen 176

Multiplikation von Matrizen 177

Matrizen in Produktionsprozessen 178

Transponierte und symmetrische Matrizen 180

Keine Angst vor inversen Matrizen 180

Matrizen und lineare Gleichungssysteme 181

Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 182

Der Rang von Matrizen 186

Matrizen invertieren in der Praxis 188

Kriterien für die Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 189

Kriterien für die Lösbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen 190

Matrizen und lineare Abbildungen 190

Lineare Abbildungen an Beispielen 191

Matrizen als lineare Abbildungen 192

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Theorie 192

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Praxis 193

Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 195

Matrizen und ihre Determinanten 196

Determinanten von 2×2-Matrizen 196

Determinanten von 3×3-Matrizen 197

Determinanten von allgemeinen Matrizen 197

Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 200

Die Cramersche Regel 201

Die Inversen mittels der Adjunktenformel berechnen 203

Flächen und Volumina mittels Determinanten berechnen 205

Kreuzprodukt von Vektoren 206

Kapitel 7 Das Matrizen-Finale: Hauptachsentransformationen und euklidische Vektorräume 209

Basistransformation 209

Auf den Maßstab kommt es an! 210

Geben Sie mir Ihre Koordinaten! 211

Matrixdarstellung bei unterschiedlichen Basen 212

Basistransformationsmatrizen 214

Überzeugende Diagramme 215

Eigenwerte und Eigenvektoren 217

Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren? 217

Eigenwerte einer Matrix berechnen 218

Eigenvektoren einer Matrix berechnen 219

Eigenräume finden und analysieren 221

Matrizen diagonalisieren 221

Drehungen und Spiegelungen 226

Drehungen in der Ebene 226

Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 228

Spiegelungen in der Ebene 229

Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 231

Drehungen im dreidimensionalen Raum 233

Mit Skalarprodukten messen können 236

Starten mit dem Standard-Skalarprodukt 237

Die allgemeinen Skalarprodukte 239

Die Norm als Längenbegriff verstehen 240

Wichtige Eigenschaften der Norm 240

Alles Senkrecht? – Orthogonalität erwünscht 241

Den Öffnungswinkel zwischen Vektoren (er)kennen 241

Allgemeine euklidische Vektorräume untersuchen 242

Orthogonale Vektoren allgemein beschreiben 243

Orthogonalsysteme und orthogonale Basen 243

Orthonormale Systeme und orthonormale Basen 244

Teil III Komplexe Analysis, Fourieranalysis und Differentialgleichungen 247

Kapitel 8 Nicht reell aber real – die komplexen Zahlen 249

Was komplexe Zahlen wirklich sind 249

Komplexe Rechenoperationen 251

Die komplexe Addition 251

Die komplexe Multiplikation 251

Die Konjugierte einer komplexen Zahl 252

Die komplexe Division 252

Zusammenhänge zwischen den komplexen Operationen 253

Komplexe quadratische Gleichungen 253

Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 255

Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 256

Der Betrag einer komplexen Zahl 256

Einmal Polarkoordinaten und zurück 257

Umwandlung in Polarkoordinaten aus Koordinaten 257

Umwandlung in Koordinaten aus Polarkoordinaten 258

Komplexe Potenzen und Wurzeln 258

Anwendungen komplexer Zahlen 260

Kapitel 9 Funktionentheorie: Komplexe Funktionen 263

Tusch bitte: Holomorphe Funktionen 263

Komplexe versus reelle Differenzierbarkeit 267

Elementare komplexe Funktionen 268

Komplexe Exponentialfunktion 268

Komplexe Logarithmusfunktion 268

Komplexe trigonometrische Funktionen 269

Nicht über isolierte Singularitäten stolpern 270

Noch mehr Reihen: die Laurentreihen 271

(Fast) Keine Angst vor den Residuen 273

Komplexe Kurvenintegrale berechnen 273

Integrale mittels Parametrisierungen lösen 274

Integrale mittels Stammfunktionen lösen 275

Integrale mittels Residuensatz lösen 275

Integrale mittels Cauchyscher Integralformeln lösen 276

Praktische Anwendung der komplexen auf reelle Integrale 277

Kapitel 10 Fourierreihen und -integrale 279

Periodische Funktionen erkennen und erschaffen 279

Der periodische Fall: Fourierreihen 281

Die komplexe Form der Fourierreihe 285

Der nicht-periodische Fall: Fouriertransformation 286

Praktische Berechnung der Fouriertransformierten 288

Anwendung der Fourieranalyse – kurzgefasst 289

Kapitel 11 Gewöhnliche Differentialgleichungen 291

Einführende Gedanken zu Differentialgleichungen 291

Mit Isoklinen zur Lösung 293

Die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit 295

Einfache Spezialfälle von Differentialgleichungen 296

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 298

Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 298

Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 299

Praktische Lösungsmethode: Variation der Konstanten 301

Systeme gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 302

Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 303

Inhomogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 306

Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung

mit konstanten Koeffizienten 307

Äquivalenz einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit einem System erster Ordnung 309

Lineare Differentialgleichungen n-ter Odnung lösen 309

Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Odnung 310

Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 311

Spezielle Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 312

Anwendungen in der Schwingungslehre 314

Teil IV Mehrdimensionale Analysis 315

Kapitel 12 Differentiation von Funktionen mehrerer Variabler 317

Funktionen mehrerer Variabler graphisch darstellen 317

Mit Schnitten und Niveau zum Erfolg 321

Schnitte von Graphen 321

Höhen- und Niveaulinien von Graphen 322

Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler 324

Partielle Ableitungen – auch hier ein Kinderspiel 326

Unabhängiges Pärchen: Partielle Ableitungen und Stetigkeit 328

Tangentialebenen als Tangenten-Alternative 329

Volles Programm: Totale Differenzierbarkeit 329

Gewünschte Zugabe: Totales Differential 330

Rechenregeln des Ableitens für Funktionen mehrerer Variabler 331

Implizite Funktionen differenzieren können 333

Höhere Ableitungen: Hilfe durch den Satz von Schwarz 334

Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variabler 336

Kritische Punkte von Funktionen in höheren Dimensionen 336

Hinreichende Kriterien für Extrema und Sattelpunkte 337

Hinreichende Kriterien für Funktionen in zwei Variablen 339

Extremwerte unter Nebenbedingungen 341

Nebenbedingung mithilfe des Lagrangeschen Ansatzes lösen 341

Nebenbedingung mithilfe des Einsetzverfahrens lösen 344

Kopf an Kopf Rennen – beide Verfahren im direkten Vergleich 345

Kapitel 13 Mehrdimensionale Integration 349

Flächenintegrale – ein Einstieg 349

Polar-, Kugel- und Zylinderkoordinaten verstehen 352

Das Prinzip des Cavalieri – Volumen der Drehkörper 355

Volumenintegrale – der Aufstieg 356

Das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel 358

Volumen eines dreidimensionalen Rotationskörpers 360

Das Volumen des Torus auf zwei Arten berechnen 361

Parametrisierung des Torus 362

Volumen des Torus als Rotationskörper 362

Volumen des Torus mithilfe der zweiten Guldinschen Regel 364

Integrierbare Funktionen mehrerer Variabler – der Gipfel 365

Mit feinster (Quader-)Rasterung zum Ziel kommen 365

Endlich Gebiete erkennen 366

Offene und (weg-)zusammenhängende Mengen 367

Integrale überzeugend definieren und verstehen 369

Substitution durch Transformation 370

Kapitel 14 Vektoranalysis in drei Dimensionen 373

Skalar- und Vektorfelder 373

Keine Angst vor Differentialoperatoren 375

Gradient eines Skalarfeldes 376

Divergenz eines Vektorfeldes 376

Rotation eines Vektorfeldes 377

Rechenregeln für Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace und Nabla 379

Das übersichtliche Nabla-Kalkül 380

Langsam durch Kurven und ihre Integrale 381

Kurven in der Ebene und im Raum 381

Kurven und ihre (Bogen-)Länge 384

Massen, Schwerpunkte und Oberflächen rotierender Kurven 386

Die Oberfläche des Torus auf zwei Arten berechnen 388

Skalare Kurvenintegrale – der Länge nach integrieren 389

Vektorielle Kurvenintegrale – gut für die Zirkulation 390

Wegunabhängigkeit von Gradientenfeldern 391

Integrale über geschlossenen Kurven 392

Integrabilitätsbedingung für Gradientenfelder 393

Oberflächlich durch den Raum 395

Flächen im dreidimensionalen Raum 395

Massen und Schwerpunkte von Flächen im Raum 397

Flächen orientieren – Außenseiten bestimmen 397

Skalare Oberflächenintegrale – Oberflächen berechnen 399

Vektorielle Oberflächenintegrale – im Fluss stehen 399

Den Fluss am Kreiskegel schrittweise berechnen 401

Formeln von Gauß, Stokes, Green und Maxwell 404

Gaußscher Integralsatz – der erste Höhepunkt 404

Stokesscher Integralsatz – der zweite Höhepunkt 405

Greensche Formeln – in Kürze und Würze 409

Maxwellgleichungen – kurz und knapp! 409

Teil V Der Top-Ten-Teil 411

Kapitel 15 Mehr als zehn wichtige Formeln 413

Wichtiger Grenzwert 413

Wichtiger Mittelwertsatz 413

Wichtiger Taylorreihenansatz 413

Wichtiger Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 413

Wichtiger Betrag eines Vektors 414

Wichtiger Dimensionssatz für lineare Abbildungen 414

Wichtiges Orthonormalisierungsverfahren 414

Wichtige komplexe Wurzeln 414

Wichtiger Residuensatz 415

Wichtige Fouriertransformation 415

Wichtige Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 415

Wichtige Hessematrix 415

Wichtige Integrale über Gebieten 416

Wichtige Sätze von Gauß und Stokes 416

Bonusrunde: Wichtige Gleichung 416

Kapitel 16 Zehn interessante Ansätze der Physik 417

Lorentz und die relativen Geschwindigkeiten 417

Dopplers Effekte 419

Keplers Planetengesetze 419

Galileis Fallgesetz 419

Newtons Trägheitsgesetz 420

Maxwell und seine Gleichungen 420

Plancks Wirkung 420

Schrödingers Gleichung 421

Heisenbergsche Unschärfe 421

Einsteins E=mc2 und seine spezielle Theorie zur Relativität 422

Bonusrunde: Einsteins allgemeine Relativitätstheorie 422

Stichwortverzeichnis 424

 

 

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