Skip to main content

Differenzialgleichungen für Dummies, 2. Auflage

E-Book

£10.99

*VAT

Differenzialgleichungen für Dummies, 2. Auflage

Steven Holzner, Timm Sigg

ISBN: 978-3-527-81941-6 February 2019 300 Pages

Einleitung 17

Über dieses Buch 17

Konventionen in diesem Buch 17

Was Sie nicht lesenmüssen 18

Törichte Annahmen über den Leser 18

Wie dieses Buch aufgebaut ist 18

Teil I: Was Sie alles brauchen – die Zutaten 19

Teil II: Es wird spannend – Differenzialgleichungen erster Ordnung 19

Teil III: Differenzialgleichungen höherer Ordnung und fortgeschrittene Techniken 19

Teil IV: Der Top-Ten-Teil 20

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 20

Wie es weitergeht 20

Teil I Was Sie Alles Brauchen – Die Zutaten 21

Kapitel 1 Differenzieren – die wichtigste Tätigkeit in diesem Buch 23

Was ist denn eine Ableitung? 23

Schreibweisen der ersten Ableitung 25

Schreibweise der höheren Ableitungen 25

Ableitungen der elementaren Funktionen 26

Ableitungsregeln 28

Summen- und Faktorregel 28

Produktregel 28

Quotientenregel 30

Kettenregel 31

Alles zusammen 37

Kapitel 2 Integrieren – genauso wichtig wie das Differenzieren 39

Unbestimmtes Integral 39

Schreibweise mit Schlangenzeichen 42

Bestimmtes Integral 43

Drei Methoden, mit denen Sie (fast) jedes Integral knacken 45

Integration durch Substitution 45

Substitution am bestimmten Integral 46

Substitution am unbestimmten Integral 47

Partielle Integration 48

Partielle Integration die Vorgehensweise 49

Integralberechnung mittels Partialbruchzerlegung 51

Partialbruchzerlegung – die Vorgehensweise 51

Kapitel 3 Komplexe Zahlen? Ja! Komplexe Sache? Nein! 59

Was sind komplexe Zahlen? 60

Die drei Darstellungen 63

Die kartesische Darstellungmit x und y 63

Die Polardarstellung mit r, 𝜑, Sinus und Kosinus 64

Die exponentielle Darstellung mit r, 𝜑 und der e-Funktion 65

Umrechnung der Darstellungen 65

Umrechnung von (exponentiell beziehungsweise polar) in kartesisch 66

Umrechnung von kartesisch in (exponentiell beziehungsweise polar) 66

Rechnenmit komplexen Zahlen 67

Die konjugiert komplexe Zahl 68

Das Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen 69

Das Multiplizieren komplexer Zahlen 69

Das Dividieren komplexer Zahlen 70

Das Potenzieren komplexer Zahlenmit reellen Potenzen 71

Die n Lösungen der Gleichung zn = w 71

Die zwei Lösungen der Mitternachtsformel 73

Kapitel 4 Matrizen und nicht Matratzen 75

Grundlegendes zu den Matrizen 76

Rechnenmit Matrizen 77

Addieren und Subtrahieren von Matrizen 77

Multiplizieren von Matrizen 77

Determinante 81

Berechnung einer (2 × 2)-Determinante 81

Berechnung einer (3 × 3)-Determinante 82

Sarrus-Regel 82

Berechnung einer (n × n)-Determinante 85

Inverse Matrix 86

Kapitel 5 Eigenwertprobleme sind keine Probleme 89

Was sind Eigenwertprobleme, wenn es keine Probleme sind? 89

Berechnung der Eigenwerte 90

Berechnung von Eigenvektoren 92

Berechnung reeller Eigenvektoren 92

Berechnung komplexer Eigenvektoren 95

Teil II ES Wird Spannend – Differenzialgleichungen Erster Ordnung 97

Kapitel 6 Was sind Differenzialgleichungen? 99

Ableitungen, Steigungen, Krümmungen 100

Ort – Geschwindigkeit – Beschleunigung 102

Differenzialgleichungen – Anfangswertprobleme – Randwertprobleme 109

Unterschied zwischen der allgemeinen Lösung und der Lösung eines Anfangswertproblems 111

Differenzialgleichungssysteme 112

Gekoppelte Differenzialgleichungen 113

Lineare Systeme – Matrizen 114

Kapitel 7 Für jede Differenzialgleichung eine passende Schublade.117

Differenzialgleichungen klassifizieren 117

Gewöhnlich versus partiell 118

Linearität 118

Homogenität 119

Ordnung 120

Beispiele 121

Differenzialgleichungssysteme klassifizieren 122

Kapitel 8 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung 125

Grundlagen für die Lösung linearer Differenzialgleichungen erster Ordnung 126

Das große Ganze mithilfe der Richtungsfelder erkennen 126

Ein Richtungsfeld zeichnen 126

Verbindung von Steigungen zu einer Integralkurve 127

Erkennen des Gleichgewichtswerts 129

Anfangsbedingungen von Anfang an anwenden 129

Und jetzt lösen wir Differenzialgleichungen mit Funktionen 131

Und jetzt nehmen wir ein paar Konstanten dazu 131

Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung mithilfe von Integrationsfaktoren lösen 132

Nach einem Integrationsfaktor suchen 132

Mithilfe eines Integrationsfaktors eine Differenzialgleichung lösen 133

Der nächste Schritt: Integrationsfaktoren in Differenzialgleichungen mit Funktionen einsetzen 134

Und jetzt eine ganz besondere Abkürzung! 135

Ein fortgeschrittenes Beispiel lösen 137

Prüfen, ob eine Lösung für eine Differenzialgleichung erster Ordnung existiert 140

Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare Differenzialgleichungen 140

Die allgemeine Lösung finden 141

Ein paar Beispiele für Existenz und Eindeutigkeit 142

Feststellen, ob es eine Lösung für eine nichtlineare Differenzialgleichung gibt 143

Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für nichtlineare Differenzialgleichungen 144

Beispiele für den Existenz- und Eindeutigkeitssatz für nichtlineare Differenzialgleichungen 144

Kapitel 9 Separierbare Differenzialgleichungen erster Ordnung 147

Die Grundlagen separierbarer Differenzialgleichungen 148

Einfach anfangen: Lineare separierbare Gleichungen 149

Implizite Lösungen 149

Explizite Lösungen aus impliziten Lösungen ableiten 151

Schwer zu knacken: Wann es keine explizite Lösung gibt 154

Trick: Nichtlineare separierbare Gleichungen in lineare separierbare Gleichungen umwandeln 155

Einige separierbare Gleichungen aus der Praxis 157

Ein Flussproblem in den Griff bekommen 157

Eine monetäre Aufgabenstellung 160

Partialbrüche in separierbaren Gleichungen 164

Kapitel 10 Exakte Differenzialgleichungen erster Ordnung und die Euler-Methode 167

Grundlagen exakter Differenzialgleichungen 167

Exakte Differenzialgleichungen definieren 168

Eine typische exakte Differenzialgleichung berechnen 169

Feststellen, ob eine Differenzialgleichung exakt ist 170

Einen praktischen Satz ausprobieren 170

Den Satz anwenden 171

Nicht exakte Differenzialgleichungen mit Integrationsfaktoren bezwingen 173

Einen Integrationsfaktor finden 174

Mithilfe eines Integrationsfaktors eine exakte Gleichung erhalten 176

Der letzte Schliff: Die exakte Gleichung lösen 177

Mit der Euler-Methode numerisch werden 178

Die Methode verstehen 178

Die Genauigkeit der Methode auf einem Computer überprüfen 180

Differenzengleichungen 186

Ein bisschen praktische Terminologie 186

Iterative Lösungen 187

Gleichgewichtslösungen 188

Teil III Differenzialgleichungen Höherer Ordnung Und Fortgeschrittene Techniken.191

Kapitel 11 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten 193

Grundlegendes und Wissenswertes 194

Stufe 1: Die allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung 195

Charakteristisches Polynom 197

Stufe 2: Die partikuläre Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung 205

Ansatz für y𝑝(x) 206

Bestimmung der Konstanten aus dem Ansatz 211

Beispiele – Beispiele – Beispiele 214

Erstes Beispiel 214

Abschließendes Beispiel der übleren Sorte 216

Gleichungen mit der Methode der Parametervariation lösen 220

Ein typisches Beispiel 221

Die Methode auf beliebige lineare Gleichungen anwenden 223

Die speziellen und allgemeinen Lösungen der inhomogenen Gleichung 224

Ein schönes Paar! Die Parametervariation trifft die Wronski-Determinante 226

Kapitel 12 Es wird ernst: Potenzreihen und reguläre Punkte 229

Grundlagen der Potenzreihen 229

Mit dem Quotientenkriterium die Konvergenz einer Potenzreihe feststellen 230

Die Grundlagen des Quotientenkriteriums 230

Den Reihenindex verschieben 233

Taylor-Reihen 233

Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mithilfe von Potenzreihen lösen 234

Wenn Sie die Lösung bereits kennen 235

Wenn die Lösung nicht im Voraus bekannt ist 242

Ein berühmtes Problem: Die Airy-Gleichung 245

Kapitel 13 Singuläre Punkte 249

Die Grundlagen singulärer Punkte 249

Singuläre Punkte finden 250

Das Verhalten singulärer Punkte 250

Reguläre und irreguläre singuläre Punkte 251

Erstaunliche Euler-Gleichungen 255

Reelle und unterschiedliche Nullstellen 256

Reelle und gleiche Nullstellen 257

Komplexe Nullstellen 258

Mit einem Satz alles zusammenfassen 260

Reihenlösungen in der Nähe singulärer Punkte bestimmen 260

Die allgemeine Lösung identifizieren 260

Grundlagen für die Lösung von Gleichungen in der Nähe singulärer Punkte 262

Mit den Nullstellen arbeiten 264

Ein numerisches Beispiel für die Lösung einer Gleichung in der Nähe singulärer Punkte 265

Die zweite Nullstelle einsetzen 268

Eine genauere Betrachtung der Kenngleichungen 270

Kapitel 14 Laplace-Transformationen 273

Eine typische Laplace-Transformation genauer betrachten 273

Entscheiden, wann eine Laplace-Transformation konvergiert 274

Grundlegende Laplace-Transformationen berechnen 275

Die Transformation von 1 276

Die Transformation von 𝑒𝑎𝑡 276

Die Transformation von sin(at) 276

Eine praktische Tabelle sorgt für Erleichterung 278

Differenzialgleichungen mithilfe von Laplace-Transformation lösen 279

Einige Sätze bringen Sie auf den Weg 280

Eine homogene Gleichung zweiter Ordnung lösen 281

Eine inhomogene Gleichung zweiter Ordnung lösen 285

Eine Gleichung höherer Ordnung lösen 289

Laplace-Transformationen faktorisieren und Faltungsintegrale 291

Eine Laplace-Transformation in Brüche faktorisieren 292

Faltungsintegrale genauer betrachten 292

Schrittfunktionen beobachten 294

Definition der Schrittfunktion 294

Die Laplace-Transformation der Schrittfunktion ermitteln 295

Kapitel 15 Drei ausfallsichere numerische Methoden 297

Zahlenknackenmit der Euler-Methode 298

Die Grundlagen der Methode 298

Mithilfe von Code die Methode in der Praxis beobachten 299

Die verbesserte Euler-Methode 303

Die Verbesserungen 304

Der neue Code 304

Eine steilere Steigung in den neuen Code einfügen 309

Nochmehr Genauigkeit durch die Runge-Kutta-Methode 313

Die Rekursionsrelation der Methode 313

Mit der Methode im Code arbeiten 314

Kapitel 16 Differenzialgleichungssysteme 319

Die Metamorphose: Verwandlung in ein Differenzialgleichungssystem 320

Beispiel 1 für die sagenhafte Umwandlung 320

Beispiel 2 für die sagenhafte Umwandlung 321

Lösen von linearen homogenen Differenzialgleichungssystemen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten 322

Mit dem richtigen Ansatz zum Ziel finden 324

Beispiel zu reellen und verschiedenen Eigenwerten 326

Beispiel zu reellen und teilweise gleichen Eigenwerten 328

Beispiel zu teilweise konjugiert komplexen Eigenwerten 330

Teil IV Der Top-Ten-Teil 335

Kapitel 17 Zehn Dinge, die Sie über Differenzialgleichungen wissen MÜSSEN 337

Nahe Verwandte 337

Die Erbanlage 337

Tage der Vernunft 337

Eulers Großeltern 337

Ein besonderer Acker 338

Typisch Mathematiker 338

Persönlichkeitsstörung 338

Exotische Vögel 338

Aufgaben der Bäume 338

Unerwartete Gemeinsamkeiten 338

Lösungen 339

Stichwortverzeichnis 341