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Vorkurs Mathematik für Ingenieure für Dummies, 2. Auflage

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Vorkurs Mathematik für Ingenieure für Dummies, 2. Auflage

Thoralf Räsch

ISBN: 978-3-527-81159-5 March 2019 462 Pages

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Über den Autor 9

Danksagung 9

Einleitung 23

Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand vieler Beispiele 23

Überall praktische Beispiele 23

Törichte Annahmen über den Leser 24

Konventionen in diesem Buch 24

Wie dieses Buch strukturiert ist 25

Teil I: Zahlen und Rechenoperationen 25

Teil II: Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen 25

Teil III: Funktionen, Folgen und Reihen 26

Teil IV: Keine Angst vor Geometrie 26

Teil V: Differentiation und Integralrechnung für eine Variable 26

Teil VI: Differentiation und Differentialgleichungen für zwei Variablen 26

Teil VII: Der Top-Ten-Teil 27

Die Symbole in diesem Buch 27

Den modularen Aufbau für sich nutzen 28

Teil I Zahlen Und Rechenoperationen 29

Kapitel 1 Zahlen und Grundrechenarten 31

Mathematik und ihre natürlichen Zahlen 31

Eigenschaften der Grundrechenarten 33

Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen 34

Aufgaben mit Klammern richtig lösen 37

Aus ganz wird rational – Bruchrechnung mal anders 38

Rationale Zahlen und ihre Dezimalbrüche 41

Und plötzlich wird’s irrational … und real! 43

Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen 45

Das Summenzeichen 46

Kapitel 2 Rechnen mit Polynomen, Potenzen und Logarithmen 47

Alles über Mengen 47

Mengen im Supermarkt? 47

Alles, nichts, oder? – Spezielle Mengen 49

Von Zahlen, Mengen und Intervallen 50

Mit Mengen einfach rechnen können 51

Das Leben mit Teilmengen 51

Mengengleichheit 51

Durchschnitt und Vereinigung von Mengen 52

Mengendifferenz und Komplementbildung 52

Potenzmenge einer Menge 53

Kreuzprodukt von Mengen 54

Venn-Diagramme 55

Prozentrechnung für den Alltag 57

Nur zwei Prozent Mieterhöhung 57

Das eigene Heim trotz Provision? 57

Die Bären kommen – Sinkende Aktienkurse 58

Bullen im Vormarsch – Steigende Kurse 58

Wie viele Bullen hätten die Bären gezähmt? 58

Immer auf die genaue Formulierung achten 59

Preissenkungsschnäppchen mitnehmen 59

Zinsrechnung zum Verstehen 59

Lohnender Zinsertrag 60

Höhe des Zinssatzes für Ihre Träume 60

Suche nach dem Startkapital 60

Taggenaue Zinsen 61

Kapitalwachstum: Zinseszins 61

Eine feste Anlage für zehn Jahre 61

Das sich verdoppelnde Kapital bei festem Zins 62

Das sich verdoppelnde Kapital bei fester Jahresanzahl 62

Keine Angst vor Wurzeln und Potenzen 63

Kapitel 3 Logische Grundlagen und Beweismethoden 65

Logische Grundlagen 65

Wahre und falsche Aussagen 65

Aussagen verknüpfen 66

Die Mathematik als Sprache erkennen 68

Terme als die Worte im mathematischen Satz 68

Formeln sind die Sätze der mathematischen Sprache 68

Mit Quantoren neue Formeln bilden 69

Notwendige und hinreichende Bedingungen 71

Die Unendlichkeit – unzählige Welten? 73

Mit abzählbaren Mengen zählen lernen 73

Jenseits der Zählbarkeit – überabzählbare Mengen 76

Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik 77

Methode 1: Direkter Beweis 77

Methode 2: Indirekter Beweis 78

Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung 79

Methode 4: Beweis durch vollständige Induktion 80

Kapitel 4 Grundlagen von Gleichungen und Ungleichungen 85

Gleichungen in Angriff nehmen 85

Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten 85

Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten 87

Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten 88

Ungleichungen in den Griff bekommen 90

Lineare Ungleichungen im Griff haben 90

Quadratische Ungleichungen zähmen 90

Echte Ungleichungen akzeptieren 91

Beträge ins Spiel bringen 91

Teil II Keine Angst Vor Gleichungen, Vektoren Und Matrizen 95

Kapitel 5 Nicht reell aber real – die komplexen Zahlen 97

Was komplexe Zahlen wirklich sind 97

Komplexe Rechenoperationen 99

Die komplexe Addition 99

Die komplexe Multiplikation 99

Die Konjugierte einer komplexen Zahl 100

Die komplexe Division 100

Zusammenhänge zwischen den komplexen Operationen 101

Komplexe quadratische Gleichungen 102

Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 103

Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 104

Der Betrag einer komplexen Zahl 104

Einmal Polarkoordinaten und zurück 105

Umwandlung in Polarkoordinaten aus Koordinaten 106

Umwandlung in Koordinaten aus Polarkoordinaten 106

Komplexe Potenzen und Wurzeln 107

Anwendungen komplexer Zahlen 109

Kapitel 6 Die Grundlagen: Allgemeine Vektorräume und lineare Gleichungssysteme 113

Vektoren erleben 113

Vektoren veranschaulichen 115

Mit Vektoren anschaulich rechnen 116

Mit Vektoren rechnen 117

Betrag eines Vektors berechnen 120

Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 121

Schöne VektorraumTeilmengen: Untervektorräume bestimmen 124

Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 126

Arten von Linearen Gleichungssystemen 129

Homogene Gleichungssysteme 130

Inhomogene Gleichungssysteme 130

Überbestimmte Gleichungssysteme 131

Unterbestimmte Gleichungssysteme 132

Quadratische Gleichungssysteme 132

Nicht lösbare Gleichungssysteme 133

Graphische Lösungsansätze für LGS 134

Kapitel 7 Vektoren im dreidimensionalen Raum: Punkte, Geraden und Ebenen 135

Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 135

Punkte im Raum 136

Parametergleichung für Geraden 136

Zweipunktegleichung für Geraden 138

Parametergleichung für Ebenen 139

Dreipunktegteichung für Ebenen 140

Koordinatengteichung für Ebenen 141

Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 141

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 143

Kollision Während einer Flugshow in Las Vegas? 150

Kapitel 8 Überleben in der Welt der Matrizen 155

Was Matrizen eigentlich sind 156

Addition von Matrizen 157

Skalarmultiplikation von Matrizen 157

Multiplikation von Matrizen 157

Matrizen in Produktionsprozessen 158

Transponierte und symmetrische Matrizen 160

Keine Angst vor inversen Matrizen 160

Matrizen und lineare Gleichungssysteme 161

Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 162

Der Rang von Matrizen 167

Matrizen invertieren in der Praxis 168

Kriterien für die Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 169

Kriterien für die Lösbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen 170

Matrizen und lineare Abbildungen 171

Lineare Abbildungen an Beispielen 171

Matrizen als lineare Abbildungen 172

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Theorie 172

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Praxis 173

Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 176

Matrizen und ihre Determinanten 177

Determinanten von (2 × 2) -Matrizen 177

Determinanten von (3 × 3) -Matrizen 177

Determinanten von allgemeinen Matrizen 178

Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 181

Die Cramersche Regel 181

Die Inversen mittels der Adjunktenformel berechnen 184

Flächen und Volumina mittels Determinanten berechnen 185

Kreuzprodukt von Vektoren 186

Praktische Anwendung: Spiegelungen und Drehungen in der Ebene 188

Drehungen in der Ebene 188

Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 190

Spiegelungen in der Ebene 190

Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 192

Teil III Funktionen, Folgen Und Reihen 195

Kapitel 9 Was Funktionen sind! 197

Was Funktionen eigentlich sind 197

Graphische Darstellung von Funktionen 199

Polynome einfach verstehen 200

Bruchrechnung: Rationale Funktionen 204

Keine Angst vor der Potgnomdivision 205

Rasch Wachsende Exponentialfunktionen 206

Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 208

Von Umkehr- und inversen Funktionen 209

Trigonometrische Funktionen 210

Trigonometrische Funktionen zeichnen 211

Identifikation (von und) mit trigonometrischen Identitäten 212

Trigonometrische Kehrwert- und Umkehrfunktionen 212

Kapitel 10 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen 217

Grenzwerte einer Funktion verstehen 217

Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff 218

Links- und rechtsseitige Grenzwerte 218

Die formale Definition eines Grenzwertes – wie erwartet! 219

Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 220

Grenzwerte für x gegen unendlich 220

Stetigkeit von Funktionen 221

Einfache Grenzwerte auswerten 224

Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 224

Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 225

Methode 1: Faktorisieren 225

Methode 2: Konjugierte Multiplikation 226

Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 226

Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 227

Grenzwerte bei unendlich auswerten 229

Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 230

Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 230

Kapitel 11 Von Folgen und Reihen 233

Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 233

Folgen aneinanderreihen 234

Konvergenz und Divergenz von Folgen 235

Grenzwerte mithilfe der Regel von l’Hospital bestimmen 236

Reihen summieren 237

Partialsummen 237

Konvergenz oder Divergenz einer Reihe 238

Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 240

Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 240

Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 240

Geometrische Reihen 241

Harmonische Reihe 241

Teleskop-Reihen 242

Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz 243

Der direkte Vergleich – Minoranten-/ Majorantenkriterium 243

Das Grenzwertkriterium 244

Quotienten- und Wurzelkriterium 246

Das Quotientenkriterium 246

Das Wurzel-Kriterium 247

Alternierende Reihen 248

Absolute oder normale Konvergenz – das ist die Frage! 249

Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen 250

Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 253

Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 255

Potenzreihen (er)kennen 255

Konvergenzbereich von Potenzreihen 257

Rechnen Sie mit Potenzreihen 258

Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 259

Teil IV Keine Angst Vor Geometrie 261

Kapitel 12 Von Winkeln, Geraden und Dreiecken: Grundlagen der Geometrie 263

Geraden, Strahlen und Winkel 263

Winkel an geschnittenen Geraden 266

Strecken in der Ebene 267

Mit den Strahlensätzen rechnen 267

Goldener Schnitt 269

Das allgemeine Dreieck 271

Das gleichschenklige Dreieck 273

Das gleichseitige Dreieck 273

Das rechtwinklige Dreieck 274

Interessante Schnittpunkte in Dreiecken 275

Dreiecke und ihre Seitenhalbierenden samt Schwerpunkte 275

Dreiecke und ihre Mittelsenkrechten samt Umkreisen 276

Dreiecke und ihre Winkelhalbierenden samt Inkreisen 276

Dreiecke und ihre Höhenschnittpunkte 277

Kongruenz von Dreiecken 278

Ähnlichkeit von Dreiecken 279

Kapitel 13 Elementare Figuren der Geometrie in Ebene und Raum 283

Die zweidimensionale Welt: Von Vierecken über n-Ecke zu Kreisen 283

Vierecke (er)kennen lernen 283

Allgemeine und regelmäßige n-Ecke 289

Keine Angst vor Kreisen 291

Geometrische Körper – die dreidimensionale Welt 295

Die Welt der Prismen 296

Es mit Pyramiden auf die Spitze treiben 298

Zylinder aus Prismen entwickeln 301

Aus Pyramiden werden Kegel 302

Die Kugel – schlicht und makellos 303

Ein komplexeres Beispiel aus der Praxis: Optimale Blechbehälter gesucht! 305

Platonische Körper genießen 307

Teil V Differential- Und Integralrechnung Für Eine Variable 309

Kapitel 14 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 311

Erste Schritte des Ableitens 311

Steigungen gesucht! 311

Steigung von Geraden 313

Steigungen von Parabeln 314

Der Differenzenquotient 315

Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 319

Grundlegende Regeln der Differentiation 321

Die Konstantenregel 321

Die Potenzregel 321

Die Summenregel – und die kennen Sie schon 322

Trigonometrische Funktionen differenzieren 322

Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 322

Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 324

Die Produktregel 324

Die Quotientenregel 324

Die Kettenregel 325

Implizite Differentiation 328

Logarithmische Differentiation 329

Differentiation von Umkehrfunktionen 330

Keine Angst vor höheren Ableitungen 331

Kapitel 15 Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 333

Kurvendiskussion einmal praktisch veranschaulicht 333

Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 334

Bauchgefühle: Konvexität und Wendepunkte 335

Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 335

Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 335

Achtung – Nicht auf der Spitze stecken bleiben 336

Halten Sie sich fest – nun geht’s bergab! 336

Jetzt wird’s kritisch an den Punkten! 336

Lokale Extremwerte finden 337

Die kritischen Werte suchen 337

Der Test mit der ersten Ableitung – wachsend oder fallend? 339

Der Test mit der zweiten Ableitung – Krümmungsverhalten! 340

Globale Extremwerte über einem abgeschlossenem Intervall finden 341

Globale Extrempunkte über den gesamten Definitionsbereich finden 343

Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen 345

Die Graphen von Ableitungen – jetzt wird gezeichnet! 347

Der Zwischenwertsatz – Es geht nichts verloren 350

Der Mittelwertsatz – Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 351

Das nützliche Taylorpolynom 353

Die Regel von l’Hospital 356

Nicht akzeptable Formen in Form bringen 357

Kombinieren der Methoden – nur Geduld! 358

Kapitel 16 Eindimensionale Integration 361

Flächenberechnung – eine Einführung 361

Flächen mithilfe von Rechtecksummen annähern 362

Exakte Flächen mithilfe des bestimmten Integrals ermitteln 366

Stammfunktionen suchen – rückwärts Ableiten 368

Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 370

Flächenfunktion beschreiben 370

Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 373

Die erste Version des Hauptsatzes 373

Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 375

Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen 377

Kapitel 17 Integrale praktisch lösen – Tipps und Tricks 381

Stammfunktionen finden – Drei grundlegende Techniken 381

Umkehrregeln für Stamm funktionen 381

Genial einfach: Raten und Prüfen 382

Die Substitutionsmethode 384

Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 386

Partielle Integration: Teile und Herrsche! 387

Wählen Sie weise! 389

Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 390

Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 391

Kapitel 18 Spezielle Integrale praktisch lösen – Tipps und Tricks 393

Integrale mit Sinus und Kosinus 393

Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 393

Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 394

Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ 395

Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche 395

Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 396

Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 397

Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren in höherer Potenz 399

Bonusrunde – Der Koeffizientenvergleich 399

Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 400

Grau ist alle Theorie – Praktische Integrale! 401

Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 402

Bogenlängen bestimmen 404

Oberflächen von einfachen Rotationskörpern bestimmen 406

Teil VI Differential- Und Integralrechnung Für Zwei Variablen 409

Kapitel 19 Kurvendiskussion von Funktionen zweier Variablen 411

Funktionen mehrerer Variabler graphisch darstellen 412

Mit Schnitten und Niveau zum Erfolg 414

Schnitte von Graphen 414

Höhen- und Niveaulinien von Graphen 415

Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler 416

Partielle Ableitungen – auch hier ein Kinderspiel 419

Unabhängiges Pärchen: Partielle Ableitungen und Stetigkeit 421

Tangentialebenen als Tangenten-Alternative 421

Volles Programm: Totale Differenzierbarkeit 422

Gewünschte Zugabe: Totales Differential 423

Rechenregeln des Ableitens für Funktionen mehrerer Variablen 424

Implizite Funktionen differenzieren können 425

Höhere Ableitungen: Hilfe durch den Satz von Schwarz 426

Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variabler 429

Kritische Punkte von Funktionen in höheren Dimensionen 429

Hinreichende Kriterien für Extrema und Sattelpunkte 430

Hinreichende Kriterien für Funktionen in zwei Variablen 432

Extremwerte unter Nebenbedingungen 434

Nebenbedingung mithilfe des Lagrangeschen Ansatzes lösen 434

Nebenbedingung mithilfe des Einsetzverfahrens lösen 437

Kopf an Kopf Rennen – beide Verfahren im direkten Vergleich 438

Kapitel 20 Grundlagen der Differentialgleichungen 445

Einführende Gedanken zu Differentialgleichungen 445

Mit Isoktinen zur Lösung 447

Die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit 448

Einfache Spezialfälle von Differentialgleichungen 450

Der einfachste Fall: y′=f (x) 450

Der Fall: y′=f (x) ⋅ g(y) – Trennung der Variablen 450

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 451

Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 452

Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 453

Praktische Lösungsmethode: Variation der Konstanten 454

Systeme gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 455

Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 456

Inhomogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 460

Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 461

Äquivalenz einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit einem System erster Ordnung 462

Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung lösen 463

Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 463

Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 464

Spezielle Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 465

Anwendungen in der Schwingungslehre 467

Teil VII Der Top-Ten-Teil 469

Kapitel 21 Zehn Ratschläge für einen erfolgreichen Abschluss Ihres Mathekurses 471

Der Kurs beginnt pünktlich in der ersten Vorlesung 471

Besuchen Sie die Vorlesungen und Übungen 472

Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften 472

Schauen Sie auch in die Bücher 472

Lösen Sie die wöchentlichen Übungsaufgaben 473

Gruppenarbeit nicht ausnutzen 473

Lernen Sie nicht nur für die Klausur 473

Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher 474

Aus Fehlern lernen 474

Der eigene Kurs ist immer der wichtigste! 474

Zu guter Letzt ̆ 475

Stichwortverzeichnis 477