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Höhere Mathematik für Dummies

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Höhere Mathematik für Dummies

Thoralf Räsch

ISBN: 978-3-527-82318-5 March 2019 448 Pages

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Über den Autor 23

Danksagung 23

Einleitung 25

Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand von Beispielen 25

Überall praktische Beispiele 26

Törichte Annahmen über den Leser 26

Konventionen in diesem Buch 27

Wie dieses Buch strukturiert ist 27

Teil I: Eindimensionale Analysis 27

Teil II: Lineare Algebra 28

Teil III: Komplexe Analysis und Differentialgleichungen 28

Teil IV: Mehrdimensionale Analysis 28

Teil V: Der Top-Ten-Teil 29

Die Symbole in diesem Buch 29

Den modularen Aufbau für sich nutzen 29

Teil I Eindimensionale Analysis 31

Kapitel 1 Grundlagen der Analysis 33

Was Funktionen eigentlich sind 33

Graphische Darstellung von Funktionen 35

Polynome einfach verstehen 36

Bruchrechnung: Rationale Funktionen 39

Rasch Wachsende Exponentialfunktionen 40

Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 41

Von Umkehr- und Inversen Funktionen 43

Trigonometrische Funktionen 44

Trigonometrische Funktionen zeichnen 45

Identifikation mit trigonometrischen Identitäten 46

Grenzwerte einer Funktion Verstehen 46

Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff 47

Links- und rechtsseitige Grenzwerte 48

Die formale Definition eines Grenzwertes – wie erwartet! 48

Unendliche Grenzwerte und Vertikale Asymptoten 49

Grenzwerte für x gegen unendlich 50

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 50

Einfache Grenzwerte auswerten 53

Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 53

Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 54

Methode 1: Faktorisieren 54

Methode 2: Konjugierte Multiplikation 54

Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 55

Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 56

Grenzwerte bei unendlich auswerten 57

Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 58

Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 59

Kapitel 2 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 61

Erste Schritte des Ableitens 62

Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 62

Grundlegende Regeln der Differentiation 64

Die Konstantenregel 64

Die Potenzregel 64

Die Koeffizientenregel 65

Die Summenregel – und die kennen Sie schon 65

Trigonometrische Funktionen differenzieren 65

Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 66

Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 67

Die Produktregel 67

Die Quotientenregel 67

Die Kettenregel 68

Implizite Differentiation 71

Logarithmische Differentiation 72

Differentiation von Umkehrfunktionen 73

Keine Angst vor höheren Ableitungen 75

Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 76

Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 76

Bauchgefühle: Konvexität und Wendepunkte 77

Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 77

Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 78

Achtung – Nicht auf der Spitze stecken bleiben 78

Halten Sie sich fest – nun geht’s bergab! 78

Jetzt wird’s kritisch an den Punkten! 78

Lokale Extremwerte finden 79

Die kritischen Werte suchen 80

Der Test mit der ersten Ableitung – wachsend oder fallend? 81

Der Test mit der zweiten Ableitung – Krümmungsverhalten! 82

Globale Extremwerte finden 83

Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen 85

Die Graphen von Ableitungen – jetzt wird gezeichnet! 87

Der Zwischenwertsatz – Es geht nichts verloren 90

Der Mittelwertsatz – Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 92

Das nützliche Taylorpolynom 93

Die Regel von l’Hospital 96

Nicht akzeptable Formen in Form bringen 98

Kombinieren der Methoden – nur Geduld! 98

Kapitel 3 Von Folgen und Reihen 101

Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 101

Folgen aneinanderreihen 102

Konvergenz und Divergenz von Folgen 103

Grenzwerte mit Hilfe der Regel von l’Hospital bestimmen 104

Reihen summieren 105

Partialsummen 105

Konvergenz oder Divergenz einer Reihe 105

Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 107

Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 107

Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 108

Geometrische Reihen 108

Harmonische Reihe 109

Teleskop-Reihen 110

Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz 111

Der direkte Vergleich – Minoranten-/Majorantenkriterium 111

Das Grenzwertkriterium 112

Quotienten- und Wurzelkriterium 114

Das Quotientenkriterium 114

Das Wurzel-Kriterium 115

Alternierende Reihen 116

Absolute oder normale Konvergenz – das ist die Frage! 116

Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen 117

Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 120

Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 122

Potenzreihen (er)kennen 122

Konvergenzbereich von Potenzreihen 123

Rechnen Sie mit Potenzreihen 124

Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 125

Kapitel 4 Eindimensionale Integration 127

Das bestimmte Integral – Flächen berechnen 127

Stammfunktionen suchen – rückwärts ableiten 129

Flächenfunktionen beschreiben 130

Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 131

Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 132

Stammfunktionen finden – Drei grundlegende Techniken 135

Umkehrregeln für Stammfunktionen 135

Umkehrregeln zum Aufwärmen 135

Die umgekehrte Potenzregel 135

Genial einfach: Raten und Prüfen 136

Die Substitutionsmethode 137

Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 140

Partielle Integration: Teile und Herrsche! 141

Wählen Sie weise! 143

Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 144

Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 145

Integrale mit Sinus und Kosinus 146

Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 146

Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 147

Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ 147

Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche 148

Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 149

Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 150

Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren in höherer Potenz 151

Bonusrunde – Der Koeffizientenvergleich 152

Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 153

Grau ist alle Theorie – Praktische Integrale! 153

Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 154

Bogenlängen bestimmen 156

Oberflächen von einfachen Rotationskörpern bestimmen 158

Teil II Lineare Algebra 161

Kapitel 5 Die Grundlagen: Vektorräume und lineare Gleichungssysteme 163

Vektoren erleben 163

Vektoren veranschaulichen 164

Mit Vektoren anschaulich rechnen 166

Mit Vektoren rechnen 167

Betrag eines Vektors berechnen 170

Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 171

Schöne Vektorraumteilmengen: Untervektorräume bestimmen 174

Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 176

Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 179

Arten von linearen Gleichungssystemen 180

Homogene Gleichungssysteme 181

Inhomogene Gleichungssysteme 181

Überbestimmte Gleichungssysteme 182

Unterbestimmte Gleichungssysteme 182

Quadratische Gleichungssysteme 183

Nicht lösbare Gleichungssysteme 184

Graphische Lösungsansätze für LGS 184

Kapitel 6 Überleben in der Welt der Matrizen .185

Was Matrizen wirklich sind 185

Addition von Matrizen 186

Skalarmultiplikation von Matrizen 187

Multiplikation von Matrizen 187

Matrizen in Produktionsprozessen 188

Transponierte und symmetrische Matrizen 190

Keine Angst vor inversen Matrizen 191

Matrizen und lineare Gleichungssysteme 192

Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 192

Der Rang von Matrizen 197

Matrizen invertieren in der Praxis 198

Kriterien für die Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 199

Kriterien für die Lösbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen 200

Matrizen und lineare Abbildungen 200

Lineare Abbildungen an Beispielen 201

Matrizen als lineare Abbildungen 202

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Theorie 202

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Praxis 203

Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 205

Matrizen und ihre Determinanten 207

Determinanten von 2 × 2 - Matrizen 207

Determinanten von 3 × 3 - Matrizen 207

Determinanten von allgemeinen Matrizen 208

Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 210

Die Cramersche Regel 211

Die Inversen mittels Adjunktenformel berechnen 213

Flächen und Volumina mittels Determinanten berechnen 215

Kreuzprodukt von Vektoren 216

Kapitel 7 Das Matrizen-Finale: Hauptachsentransformationen und euklidische Vektorräume 219

Basistransformation 220

Auf den Maßstab kommt es an! 220

Geben Sie mir Ihre Koordinaten! 221

Matrixdarstellung bei unterschiedlichen Basen 223

Basistransformationsmatrizen 225

Überzeugende Diagramme 226

Eigenwerte und Eigenvektoren 228

Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren? 228

Eigenwerte einer Matrix berechnen 228

Eigenvektoren einer Matrix berechnen 230

Eigenräume finden und analysieren 231

Matrizen diagonalisieren 232

Drehungen und Spiegelungen 236

Drehungen in der Ebene 237

Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 239

Spiegelungen in der Ebene 239

Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 241

Drehungen im dreidimensionalen Raum 244

Mit Skalarprodukten messen können 247

Starten mit dem Standard-Skalarprodukt 248

Die allgemeinen Skalarprodukte 250

Die Norm als Längenbegriff verstehen 251

Wichtige Eigenschaften der Norm 251

Alles Senkrecht? – Orthogonalität erwünscht 252

Den Öffnungswinkel zwischen Vektoren (er)kennen 252

Allgemeine euklidische Vektorräume untersuchen 253

Orthogonale Vektoren allgemein beschreiben 254

Orthogonalsysteme und orthogonale Basen 254

Orthonormale Systeme und orthonormale Basen 255

Teil III Komplexe Analysis, Fourieranalysis Und Differentialgleichungen 259

Kapitel 8 Nicht reell aber real – die komplexen Zahlen 261

Was komplexe Zahlen wirklich sind 261

Komplexe Rechenoperationen 263

Die komplexe Addition 263

Die komplexe Multiplikation 263

Die Konjugierte einer komplexen Zahl 264

Die komplexe Division 265

Zusammenhänge zwischen den komplexen Operationen 265

Komplexe quadratische Gleichungen 266

Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 267

Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 268

Komplexe Potenzen und Wurzeln 271

Anwendungen komplexer Zahlen 273

Kapitel 9 Funktionentheorie: Komplexe Funktionen 277

Tusch bitte: Holomorphe Funktionen 277

Komplexe versus reelle Differenzierbarkeit 281

Elementare komplexe Funktionen 282

Komplexe Exponentialfunktion 282

Komplexe Logarithmusfunktion 283

Komplexe trigonometrische Funktionen 284

Nicht über isolierte Singularitäten stolpern 284

Noch mehr Reihen: die Laurentreihen 286

(Fast) Keine Angst vor den Residuen 287

Komplexe Kurvenintegrale berechnen 288

Integrale mittels Parametrisierungen lösen 289

Integrale mittels Stammfunktionen lösen 290

Integrale mittels Residuensatz lösen 290

Integrale mittels Cauchyscher Integralformeln lösen 291

Praktische Anwendung der komplexen auf reelle Integrale 292

Kapitel 10 Fourierreihen und -integrale 295

Periodische Funktionen erkennen und erschaffen 295

Der periodische Fall: Fourierreihen 297

Die komplexe Form der Fourierreihe 301

Der nicht-periodische Fall: Fouriertransformation 302

Praktische Berechnung der Fouriertransformierten 304

Anwendung der Fourieranalyse – kurzgefasst 306

Kapitel 11 Gewöhnliche Differentialgleichungen 309

Einführende Gedanken zu Differentialgleichungen 309

Mit Isoklinen zur Lösung 311

Die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit 314

Einfache Spezialfälle von Differentialgleichungen 315

Der einfachste Fall: y’ = f(x) 315

Der Fall: y’= f(x) ⋅ g(y) – Trennung der Variablen 315

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 317

Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 317

Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 318

Praktische Lösungsmethode: Variation der Konstanten 320

Systeme gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 321

Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 322

Inhomogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 324

Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 326

Äquivalenz einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit einem System erster Ordnung 327

Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung lösen 328

Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 328

Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 329

Spezielle Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 331

Anwendungen in der Schwingungslehre 332

Teil IV Mehrdimensionale Analysis 335

Kapitel 12 Differentiation von Funktionen mehrerer Variabler 337

Funktionen mehrerer Variabler graphisch darstellen 338

Mit Schnitten und Niveau zum Erfolg 341

Schnitte von Graphen 341

Höhen- und Niveaulinien von Graphen 343

Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler 344

Partielle Ableitungen – auch hier ein Kinderspiel 346

Unabhängiges Pärchen: Partielle Ableitungen und Stetigkeit 348

Tangentialebenen als Tangenten-Alternative 349

Volles Programm: Totale Differenzierbarkeit 349

Gewünschte Zugabe: Totales Differential 350

Rechenregeln des Ableitens für Funktionen mehrerer Variabler 351

Implizite Funktionen differenzieren können 353

Höhere Ableitungen: Hilfe durch den Satz von Schwarz 354

Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variabler 356

Kritische Punkte von Funktionen in höheren Dimensionen 356

Hinreichende Kriterien für Extrema und Sattelpunkte 357

Hinreichende Kriterien für Funktionen in zwei Variablen 359

Extremwerte unter Nebenbedingungen 361

Nebenbedingung mithilfe des Lagrangeschen Ansatzes lösen 361

Nebenbedingung mithilfe des Einsetzverfahrens lösen 364

Kopf an Kopf Rennen – beide Verfahren im direkten Vergleich 365

Kapitel 13 Mehrdimensionale Integration 371

Flächenintegrale – ein Einstieg 371

Das Prinzip des Cavalieri – Volumen der Drehkörper 377

Volumenintegrale – der Aufstieg 379

Das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel 381

Volumen eines dreidimensionalen Rotationskörpers 382

Das Volumen des Torus auf zwei Arten berechnen 383

Parametrisierung des Torus 384

Volumen des Torus als Rotationskörper 385

Volumen des Torus mithilfe der zweiten Guldinschen Regel 387

Integrierbare Funktionen mehrerer Variabler – der Gipfel 387

Mit feinster (Quader-)Rasterung zum Ziel kommen 388

Endlich Gebiete erkennen 389

Offene und (weg-)zusammenhängende Mengen 390

Integrale überzeugend definieren und verstehen 391

Substitution durch Transformation 393

Kapitel 14 Vektoranalysis in drei Dimensionen 397

Skalar- und Vektorfelder 397

Keine Angst vor Differentialoperatoren 399

Gradient eines Skalarfeldes 400

Divergenz eines Vektorfeldes 400

Rotation eines Vektorfeldes 402

Rechenregeln für Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace und Nabla 403

Das übersichtliche Nabla-Kalkül 404

Langsam durch Kurven und ihre Integrale 405

Kurven in der Ebene und im Raum 406

Kurven und ihre (Bogen-)Länge 408

Massen, Schwerpunkte und Oberflächen rotierender Kurven 410

Die Oberfläche des Torus auf zwei Arten berechnen 412

Skalare Kurvenintegrale – der Länge nach integrieren 413

Vektorielle Kurvenintegrale – gut für die Zirkulation 414

Wegunabhängigkeit von Gradientenfeldern 415

Integrale über geschlossenen Kurven 415

Integrabilitätsbedingung für Gradientenfelder 416

Oberflächlich durch den Raum 419

Flächen im dreidimensionalen Raum 419

Massen und Schwerpunkte von Flächen im Raum 421

Flächen orientieren – Außenseiten bestimmen 421

Skalare Oberflächenintegrale – Oberflächen berechnen 423

Vektorielle Oberflächenintegrale – im Fluss stehen 423

Den Fluss am Kreiskegel schrittweise berechnen 425

Formeln von Gauß, Stokes, Green und Maxwell 428

Gaußscher Integralsatz – der erste Höhepunkt 428

Stokesscher Integralsatz – der zweite Höhepunkt 429

Greensche Formeln – in Kürze und Würze 432

Maxwellgleichungen – kurz und knapp! 433

Teil V Der Top-Ten-Teil 435

Kapitel 15 Mehr als zehn wichtige Formeln 437

Wichtiger Grenzwert 437

Wichtiger Mittelwertsatz 437

Wichtiger Taylorreihenansatz 438

Wichtiger Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 438

Wichtiger Betrag eines Vektors 438

Wichtiger Dimensionssatz für lineare Abbildungen 438

Wichtiges Orthonormalisierungsverfahren 439

Wichtige komplexe Wurzeln 439

Wichtiger Residuensatz 439

Wichtige Fouriertransformation 439

Wichtige Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 440

Wichtige Hessematrix 440

Wichtige Integrale über Gebieten 440

Wichtige Sätze von Gauß und Stokes 440

Bonusrunde: Wichtige Gleichung 441

Kapitel 16 Zehn interessante Ansätze der Physik 443

Lorentz und die relativen Geschwindigkeiten 443

Dopplers Effekte 445

Keplers Planetengesetze 445

Galileis Fallgesetz 446

Newtons Trägheitsgesetz 446

Maxwell und seine Gleichungen 446

Plancks Wirkung 447

Schrödingers Gleichung 447

Heisenbergsche Unschärfe 448

Einsteins E = mc2 und seine spezielle Theorie zur Relativität 448

Bonusrunde: Einsteins allgemeine Relativitätstheorie 449

Stichwortverzeichnis 451