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Analysis kompakt für Dummies

Analysis kompakt für Dummies

Mark Ryan, Judith Muhr (Translator)

ISBN: 978-3-527-70763-8

Dec 2011

219 pages

Select type: Paperback

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Über den Autor 9

Einführung 19

Über dieses Buch 19

Konventionen in diesem Buch 19

Wie Sie dieses Buch einsetzen 20

Törichte Annahmen über den Leser 20

Wie dieses Buch aufgebaut ist 20

Teil I: Analysis – ein Überblick 20

Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 20

Teil III: Grenzwerte 21

Teil IV: Differentiation 21

Teil V: Integration 21

Teil VI: Der Top-Ten-Teil 21

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 21

Wie es weitergeht 22

Teil I Analysis – ein Überblick 23

Kapitel 1 Was ist Analysis? 25

Was Analysis nicht ist 25

Was also ist Analysis? 26

Beispiele für die Analysis aus der Praxis 27

Kapitel 2 Die beiden wichtigen Konzepte der Analysis: Differentiation und Integration 29

Differentiation – Definition 29

Die Ableitung ist eine Steigung 29

Die Ableitung ist eine Änderungsrate 30

Und jetzt zur Integration 31

Kapitel 3 Warum die Analysis funktioniert 35

Das Grenzwertkonzept: Ein mathematisches Mikroskop 35

Was passiert beim Vergrößern? 36

Zwei Warnungen – nur zur Vorsicht 39

Ich könnte meine Lizenz verlieren, Mathematik zu betreiben 39

Und was um alles in der Welt bedeutet »unendlich« eigentlich? 39

Teil II Die Voraussetzungen für die Analysis 41

Kapitel 4 Überblick über Vor-Algebra und Algebra 43

Was Sie über Brüche wissen sollten 43

Ein paar schnelle Regeln 43

Brüche multiplizieren 44

Brüche dividieren 44

Brüche addieren 45

Brüche subtrahieren 46

Brüche kürzen 46

Betrag (Absolutwert) – absolut einfach 48

Potenzen machen stark 48

Zu den Wurzeln der Wurzeln 49

Wurzeln, Wurzeln überall! 49

Logarithmen…wirklich keine Hexerei 50

Faktorisieren – wer braucht das schon? 51

Den größten gemeinsamen Teiler herausziehen 51

Quadratische Gleichungen lösen 52

Methode 1: Faktorisieren 52

Methode 2: Die abc-Formel 53

Methode 3: Quadratische Ergänzung 54

Kapitel 5 Verrückte Funktionen und ihre wunderbaren Graphen 55

Was ist eine Funktion? 55

Die definierende Eigenschaft einer Funktion 55

Unabhängige und abhängige Variablen 56

Funktionsnotation 57

Zusammengesetzte Funktionen 57

Wie sieht eine Funktion aus? 58

Allgemeine Funktionen und ihre Graphen 59

Geradeheraus – Geraden in der Ebene 59

Parabel- und Betragsfunktionen – gerade heraus 63

Einige ungerade Funktionen 63

Exponentialfunktionen 63

Logarithmische Funktionen 64

Inverse Funktionen 65

Schieben, spiegeln, dehnen, stauchen 66

Horizontale Transformationen 66

Vertikale Transformationen 67

Kapitel 6 Trigonometrie ist Trumpf! 69

Trigonometrie im Crashkurs 69

Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen 70

Inverse trigonometrische Funktionen 71

Teil III Grenzwerte 73

Kapitel 7 Grenzwerte und Stetigkeit 75

Bis an die Grenzen – NEIN 75

Drei Funktionen erklären den Grenzwert 75

Weiter zu den einseitigen Grenzwerten 77

Die formale Definition eines Grenzwerts – wie erwartet! 78

Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 78

Grenzwerte an der Unendlichkeit – haben Sie gute Schuhe an? 79

Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen 80

Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand 81

Die Ausnahme für ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht 81

Die überflüssige Mathematik der Stetigkeit aussortieren 82

Kapitel 8 Grenzwerte auswerten 83

Einfache Grenzwerte 83

Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 83

Einsetzen und Einkochen 84

Die »echten« Aufgabenstellungen mit Grenzwert 84

Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen 84

Aufgabenstellungen mit Grenzwert algebraisch lösen 86

Grenzwerte bei unendlich auswerten 88

Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 88

Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 89

Teil IV Differentiation 91

Kapitel 9 Differentiation – Orientierung 93

Differentiation: Sucht die Steigung! 93

Die Steigung einer Geraden 95

Die Ableitung einer Geraden 96

Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate 97

Geschwindigkeit – die uns vertrauteste Änderungsrate 97

Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung 98

Die Ableitung einer Kurve 98

Der Differenzquotient 100

Durchschnittliche Änderungsrate und momentane Änderungsrate 106

Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 107

Kapitel 10 Regeln für die Differentiation – was sein muss, muss sein! 109

Grundlegende Regeln der Differentiation 109

Die Konstantenregel 109

Die Potenzregel 109

Die Regeln zu dem Vielfachen von Konstanten 111

Die Summenregel – und die kennen Sie schon 111

Die Differenzregel – macht kaum einen Unterschied 111

Trigonometrische Funktionen differenzieren 111

Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 112

Differentiationsregeln für Profis – Wir sind die Champs! 113

Die Produktregel 113

Die Quotientenregel 114

Die Kettenregel 114

Kapitel 11 Differentiation und die Form von Kurven 117

Ein Ausflug mit der Analysisgruppe 117

Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen 118

Krümmung und Wendepunkte 118

Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum 119

Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum 119

Autopanne: Auf dem Scheitelpunkt hängen geblieben 119

Von nun an ging’s bergab! 119

Ihr Reisetagebuch 119

Lokale Extremwerte finden 120

Die kritischen Werte herausleiern 120

Der Test der ersten Ableitung 121

Der Test der zweiten Ableitung – Tests, Tests, Tests! 123

Absolute Extremwerte für ein geschlossenes Intervall finden 124

Die absoluten Extremwerte über den gesamten Definitionsbereich einer Funktion finden 126

Krümmung und Wendepunkte bestimmen 127

Die Graphen von Ableitungen – Bis zum Abwinken 129

Kapitel 12 Problemlos glücklich: Der Differentiation sei Dank! 133

Wie Sie das meiste aus Ihrem Leben machen: Optimierungsprobleme 133

Das maximale Volumen einer Schachtel 133

Husch, husch: Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung 135

Maximale und minimale Höhe 138

Geschwindigkeit und Abstand 138

Gesamte zurückgelegte Distanz 139

Gummigeruch und Bremsstreifen: Beschleunigung und Abbremsen 140

Und jetzt alles zusammen 140

(Relativ) verkettete Änderungsraten 140

Einen Trog auffüllen 141

Tangenten und Normalen: Auf die Spitze getrieben 143

Die Aufgabenstellung mit der Tangente 143

Das Normallinienproblem 145

Teil V Integration 149

Kapitel 13 Integration und Flächenannäherung – Ein Einstieg 151

Die Fläche unter einer Kurve bestimmen 151

Der Umgang mit negativen Flächen 152

Flächen annähern 153

Flächen mit Hilfe linker Summen annähern 153

Flächen mit Hilfe rechter Summen annähern 155

Die Summennotation 157

Die Grundlagen summieren 157

Riemann-Summen in Sigma-Notation 158

Exakte Flächen mit Hilfe des bestimmten Integrals ermitteln 160

Kapitel 14 Integration: Die Rückwärts-Differentiation 163

Stammfunktionen suchen – die umgekehrte Differentiation 163

Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 164

Die müßige Flächenfunktion 164

Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Analysis 167

Der Hauptsatz der Analysis: Teil2 170

Warum der Hauptsatz funktioniert: Die Verbindung zwischen Integration und

Differentiation 172

Stammfunktionen finden: Drei grundlegende Techniken 174

Umkehrregeln für Stammfunktionen 174

Raten und Prüfen 176

Die Substitutionsmethode 178

Flächen mit Hilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 179

Kapitel 15 Integrationstechniken für Profis 183

Teilweise (partielle) Integration: Teilen und Herrschen! 183

Das u auswählen 185

Teilweise Integration: Beim zweiten wie beim ersten Mal 187

A, B und C in Teilbrüchen (Partialbrüchen) 188

1. Fall: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 188

2. Fall: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 189

Bonusrunde: Koeffizienten ähnlicher Terme gleichsetzen 191

Kapitel 16 Grau ist alle Theorie: Mit Integralen echte Probleme lösen 193

Der Mittelwertsatz für Integrale und der Durchschnittswert 193

Die Fläche zwischen zwei Kurven – Der doppelte Spaß 197

Die Volumen unregelmäßiger Körper ermitteln 200

Die Pfannkuchenstapelmethode 200

Die Stapel-Donuts-auf-den-sich-jemand-gesetzt-hat-Methode 201

Bogenlängen analysieren 203

Die Regel von L’Hôpital: Analysis für die Kranken 205

Uneigentliche Integrale: Am Verlauf zu erkennen 206

Uneigentliche Integrale mit vertikalen Asymptoten 206

Uneigentliche Integrale mit einer oder zwei unendlichen Integrationsgrenzen 208

Teil VI Der Top-Ten-Teil 211

Kapitel 17 Zehn Dinge, die Sie sich merken sollten 213

Den Platz, wo Ihre Sonnenbrille liegt 213

ist undefiniert 213

Irgendetwas0 = 1 213

SghKahTga 214

Trigonometrische Werte für 30-, 45- und 60-Grad-Winkel 214

Die Produktregel 214

Die Quotientenregel 214

Wo Sie Ihre Schlüssel hingelegt haben 214

Kapitel 18 Zehn Dinge, die Sie vergessen können 215

Den Satz von Green 216

Stichwortverzeichnis 217