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Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler für Dummies

Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler für Dummies

Christian Jaschinski

ISBN: 978-3-527-70744-7

Oct 2014

400 pages

Select type: Paperback

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Einführung

Über dieses Buch 17

Wofür die Wirtschaftsmathematik gut ist 17

Konventionen in diesem Buch 18

Wie Sie dieses Buch nutzen können 18

Törichte Annahmen über den Leser 19

Wie dieses Buch aufgebaut ist 19

Teil I: Arithmetik – die Magie der Mathematik 19

Teil II: Gleichungen – die Kunst der Mathematik 20

Teil III: Vektoren – die Faszination der Mathematik 20

Teil IV: Grenzwerte – die Ränder der Mathematik 20

Teil V: Differentiale – die Analyse der Mathematik 21

Teil VI: Integrale – die Flächen der Mathematik 21

Teil VII: Mengenlehre – der Urknall der Mathematik 21

Teil VIII: Der Top-Ten-Teil 22

Zusatzmaterialien im Internet 22

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 22

Wie es weitergeht 23

Teil I Arithmetik – die Magie der Mathematik 25

Kapitel 1 Plus, minus, mal und geteilt – die Basis der Mathematik 27

Auch hier brauchen Sie zuerst Gesetze 27

Kommutativgesetz 27

Assoziativgesetz 28

Distributivgesetz 29

Was sind das neutrale und das inverse Element? 31

Jede Operation hat auch eine Gegenoperation 31

Klammer auf und Klammer zu und schon wird vieles einfacher 32

Eine Handvoll S von Schreiber 33

Kapitel 2 Auch die Brüche sind Freunde 37

Wie sieht die Welt der Brüche aus? 37

Mit Brüchen können Sie auch rechnen 38

Multiplizieren von Brüchen 39

Addieren oder Subtrahieren von Brüchen 40

Division von Brüchen 40

Wofür braucht man den Kehrwert? 41

Der Doppelbruch sieht schlimmer aus, als er ist 42

Kapitel 3 Potenzen vereinfachen die Welt 45

Der Unterschied zwischen Potenz und Exponential 45

Gesetze müssen Sie nicht lernen, sondern herleiten können 46

Hierarchiepyramide nach Schreiber – Potenzen 46

Die verschiedenen Arten der Exponenten 48

Natürliche Zahlen 48

Negative ganze Zahlen 50

Rationale Zahlen 50

Potenzen grafisch darstellen 52

Kapitel 4 Summen potenzieren? 55

Die erste und zweite binomische Formel begreifen 55

Wie können Sie das dritte Binom effektiv nutzen? 56

Wurzeln entfernen 57

Konjugiert komplexe Zahl 59

Bei Exponenten größer als zwei hilft nur das pascalsche Dreieck 60

Kapitel 5 Von einem exponentiellen Wachstum träumt doch jede(r) 65

Was heißt exponentielles Wachstum/Gefälle? 65

Wenn es steigt 66

Wenn es fällt 67

Exponentielle Funktionen zeichnen 68

Sie betrachten die e-Funktion 70

Kapitel 6 Nach einem Exponenten auflösen 73

Den Logarithmus berechnen können 73

Gesetze müssen Sie auch hier nicht lernen, sondern herleiten können 74

Hierarchiepyramide nach Schreiber – Logarithmen 74

Die Basis des Logarithmus bestimmt den Term 76

Die unterschiedlichen Graphen genauer betrachten 77

Wie kann der Logarithmus ganz einfach neutralisiert werden? 80

Kapitel 7 Sinus und Cosinus auf der Suche nach dem Einheitskreis 83

Alles begann am rechtwinkligen Dreieck 83

Warum ist Pi dasselbe wie 360 Grad? 85

Den Einheitskreis verstehen lernen 86

Was sagen Ihnen Tangens und Cotangens? 90

Was machen Sie, wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist? 91

Sinussatz 92

Cosinussatz 93

Teil II Gleichungen – die Kunst der Mathematik 95

Kapitel 8 Gleichungen mit einer Variablen – »fast« zu trivial für Sie 97

Methode für eine lineare Gleichung 97

Wie wird eine lineare Gleichung interpretiert? 99

Eine quadratische Gleichung: Was ist das? 100

Quadratische Ergänzung 103

p–q-Formel/Mitternachtsformel 105

Satz von Vieta 107

Ist eine biquadratische Gleichung schwer? 108

Die Polynomdivision ist auch nur eine ganz normale Division 109

Kapitel 9 Nicht alles, was größer ist, muss auch größer sein 113

Eine Ungleichung verstehen 113

Was bedeutet eine Ungleichung grafisch? 114

Die Lösungsmethode FREPL hilft Ihnen beim Lösen von Ungleichungen 118

Betragsungleichung 119

Bruchungleichung 121

Nicht jedes Ergebnis muss auch Lösung sein 123

Kapitel 10 Zwei Unbekannte / zwei Gleichungen – auch keine Herausforderung! 125

Was suchen Sie grafisch gesehen? 125

Lösungen suchen und effektiv bestimmen 127

Gleichsetzungsverfahren 127

Einsetzungsverfahren 128

Additionsverfahren 128

Das Eliminationsverfahren nach Gauß kann immer helfen 130

Die Mannigfaltigkeit beschreibt die Lösungsmenge 132

Teil III Vektoren – die Faszination der Mathematik 135

Kapitel 11 Früher war alles flach, heute ist es mehrdimensional 137

Was ist eigentlich ein Vektor? 137

Mit Vektoren rechnen 140

Skalares Produkt 141

Inneres Produkt (Skalarprodukt) 141

Äußeres Produkt (Vektorprodukt) 142

Die Länge und den Winkel von Vektoren berechnen 144

Der euklidische Vektorraum 149

Beweis und Interpretation der linearen (Un-)Abhängigkeit 151

Basis 153

Span und Dimension 154

Die Basis transformieren 154

Kapitel 12

Punkt, Gerade und Ebene – alles, was Spaß macht 157

Was wird für eine Gerade/Ebene gebraucht? 157

Ortsvektor 157

Richtungsvektor 158

Eine Gerade besteht aus zwei Vektoren 160

Für eine Ebene benötigen Sie drei Vektoren 161

Der Stellungsvektor – der senkrechte Nagel einer Ebene 162

Die Definition einer Ebene verstehen 164

Parameterform 164

Parameterfreie Darstellung 165

Ein Wechsel zwischen den Darstellungen 166

Kapitel 13 Punkt, Gerade und Ebene – geht da noch was? 169

Liegt der Punkt auf der Geraden oder Ebene? 169

Wie liegen denn zwei Geraden zueinander? 171

Schneidend 172

Windschief 173

Parallel 174

Identisch 175

Der Entscheidungsbaum der Lagerelationen 176

Was passiert zwischen einer Geraden und einer Ebene? 177

Wie können zwei Ebenen zueinander liegen? 179

Parallelität 179

Identität 180

Schnittgerade 181

Dann sollten Sie mal auf Abstand gehen 182

Punkt – Gerade 183

Punkt – Ebene 184

Gerade – Gerade 184

Gerade/Ebene – Ebene 187

Teil IV Grenzwerte – die Ränder der Mathematik 191

Kapitel 14 Der Limes – mehr als nur ein Schutzwall der Römer 193

Was ist ein Grenzwert? 193

Nur an bestimmten Stellen lohnt sich die Grenzwertbetrachtung 195

Spezielle Grenzwerte kennenlernen 198

Was passiert bei »null dividiert durch null«? 200

Kürzen des Linearfaktors 201

Erweiterung mittels des dritten Binoms 202

Regel von L'Hospital 203

Null mal unendlich kann so ziemlich alles sein 204

Die Faustregel der Grenzwertbetrachtung hilft beim Rechnen 205

Die sieben Schritte der Grenzwertberechnung 206

Kapitel 15 Asymptoten – die grafische Interpretation von Grenzen 209

Formen der Annäherungsgraphen erkennen und verstehen 209

Waagerechte Asymptoten 210

Senkrechte Asymptoten 211

Diagonale Asymptoten 212

Die Ersatzfunktion erzeugt die behebbaren Lücken 213

Techniken für Asymptoten und Lücken 215

Grafische Darstellung der Ergebnisse 217

Kapitel 16 Stetigkeit/Differenzierbarkeit – die Interpretation des Limes 221

Ein Graph ohne Sprünge ist stetig 221

Eine Funktion ohne Ecken ist differenzierbar 224

Was versteht man unter einer gesplitteten Funktion? 226

Teil V Differentiale – die Analyse der Mathematik 229

Kapitel 17 Die Bildung von Ableitungen ist keine Hexerei 231

Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten 231

Für reine Potenzterme ableiten nach SchemaF 234

Handelt es sich um ein Produkt, gilt die Produktregel 235

Handelt es sich um einen Quotienten, gilt die Quotientenregel 235

Die Welt besteht aus Kettenregeln 237

Potenzfunktionen 238

Exponentialfunktionen 239

Logarithmusfunktionen 241

Trigonometrische Funktionen 243

Was tun, wenn die Funktion stark verschachtelt ist? 244

Wie gehen Sie mit einer Funktionenschar um? 246

Kapitel 18 Die Ableitungen beschreiben die wesentlichen Punkte einer Funktion 251

Für was wird die erste Ableitung genutzt? 251

Extremstellen 252

Tangentengleichung 254

Was sagt Ihnen die zweite Ableitung? 255

Wendestellen 255

Klassifizierung der Extremstellen 257

Extremwertprobleme verstehen und lösen 259

Bestimmung einer Funktion aufgrund von markanten Punkten 262

Kapitel 19 Die Funktion mittels Kurvendiskussion begreifen 265

Mit sieben Schritten eine Funktion analysieren 265

Wie können Sie aufgrund eines Graphen die Funktion bestimmen? 270

Kapitel 20 Sinus/Cosinus – Funktionen modulieren und verschieben 273

Wie funktionieren die Additionstheoreme? 273

In der Waagerechten und in der Senkrechten verschieben 274

Phasenverschiebung 274

Wertebereichsverschiebung 275

Den Sinus/Cosinus strecken oder stauchen 276

Amplitudenmodulation 277

Periodenvariation 277

Skizzieren von trigonometrischen Funktionen 278

Teil VI Integrale – die Flächen der Mathematik 283

Kapitel 21 Die Stammfunktion ist nichts anderes als die »Aufleitung« 285

Zusammenhänge zwischen Integranden- und Stammfunktion 285

Worin unterscheiden sich die Integrale? 286

Die Stammfunktion bilden und verstehen 288

Potenzterme 288

A3-Verfahren 289

Partielle Integration 292

Integration mittels Substitution 296

Der sichere Weg zum Integral 298

Kapitel 22 Egal welche Fläche, es ist immer ein Integral 301

Das sollten Sie generell über Flächen wissen 301

Die Fläche innerhalb von definierten Grenzen bestimmen 303

Wie groß ist die Fläche … 305

… zwischen Funktion und x-Achse 305

… zwischen zwei Funktionen 306

Welche Grenzen müssen Sie wählen, um eine gegebene Fläche zu bekommen? 308

Teil VII Mengenlehre – der Urknall der Mathematik 311

Kapitel 23 Mengenlehre begreifen, um die Mathematik zu verstehen 313

Aus was besteht denn eigentlich eine Menge? 313

Mengen einfach definieren und darstellen 315

Eigenschaften 316

Venn-Diagramm 317

Aufzählungen 318

Keine Angst vor den Beziehungen 318

Teilmenge 318

Durchschnittsmenge 320

Vereinigungsmenge 320

Negation 321

Welche Arten von Symmetrie kann eine Struktur haben? 321

Wofür Gesetze so alles gut sind 322

Klasseneinteilungen klar erzeugen und beweisen 324

Zahlenmengen machen die Welt verständlich 325

Kapitel 24 Wer behauptet, aus negativen Zahlen gebe es keine Wurzeln, der lügt 329

Die komplexe Zahl passt in die bisherige Zahlenwelt 329

Die besondere Rolle des Imaginärteils 331

Was gehört denn sonst noch so zu einer komplexen Zahl? 332

Darstellungsmöglichkeiten einer komplexen Zahl 334

Jetzt müssen Sie nur noch mit den neuen Zahlen rechnen 334

Teil VIII Der Top-Ten-Teil 337

Kapitel 25 Zehn Schritte die Ihre Effektivität steigern 339

Verstehen Sie die Sprache? 339

Haben Sie auch genug trainiert? 339

Eine Aufgabe ist kein Problem, sondern eine Herausforderung! 340

Wissen Sie auch, wo was steht? 341

Was haben Sie und was suchen Sie? 341

Gut geschätzt ist halb gewonnen 342

Der Funktionsgraph hilft Ihnen 342

Kleine Schritte führen sicher zum Ziel 342

Nutzen Sie meine neuen Methoden! 343

Hinterfragen Sie Ihre Ergebnisse! 343

Anhang A: Lösungen 345

Stichwortverzeichnis 397