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Die Finite-Elemente-Methode für Anfänger, 4th Edition

Paperback

$34.95

Die Finite-Elemente-Methode für Anfänger, 4th Edition

Herbert Goering, Lutz Tobiska, Hans-Görg Roos

ISBN: 978-3-527-40964-8 February 2012 228 Pages

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Description

Die Finite-Elemente-Methode ist eine grundlegende mathematische Technik zur Behandlung von Differentialgleichungs- und Variationsproblemen, die in Physik und Mechanik, im Bau- und Ingenieurwesen sowie in Elektrotechnik und Mechatronik auftreten.

Das vorliegende Buch ist die vierte Auflage des bewïhrten Standardwerks der drei Autoren. Es ist speziell für Naturwissenschaftler und Ingenieure geeignet, die die mathematischen Grundlagen der Methode kennenlernen wollen. Das Lehrbuch wurde grändlich überarbeitet, zudem u.a. durch Hinweise auf unstetige Galerkin-Methoden und verschiedene Varianten von a posteriori Fehlerabschätzungen sowie Literatur- und Softwareverweise auf den aktuellen Stand gebracht.

Vorwort ix

1 Einführung 1

1.1 Allgemeines zur Methode der finiten Elemente 1

1.2 Wie überführtman ein Randwertproblem in eine Variationsgleichung? 4

1.2.1 Beispiel 1 4

1.2.2 Beispiel 2 5

2 Grundkonzept 7

2.1 Stetiges und diskretes Problem. Beispiele von finiten Elementen 7

2.1.1 Die Grundzüge der Methode 7

2.1.2 Ein erstes Beispiel und eine theoretische Schwierigkeit 10

2.1.3 Die Lösung: Sobolev-Räume 12

2.1.4 Das erste Beispiel (Fortsetzung) 17

2.1.5 Präzisierung der Grundzüge der Methode 18

2.1.6 Beispiele von finiten Elementen 26

2.2 Der Aufbau des Gleichungssystems 36

2.2.1 Elementmatrizen 36

2.2.2 Die Elementmatrix für eine spezielle Bilinearform und Dreieckelemente vom Typ 1 37

2.2.3 Die Elementmatrix für Dreieckelemente vom Typ 2 43

2.2.4 Die Elementmatrix für Rechteckelemente vom Typ 1 bzw. bilineare Viereckelemente 45

2.2.5 Die Elementmatrix für den Laplace-Operator mit Tetraederelementen 47

2.2.6 Elementmatrix für den Laplace-Operator mit trilinearen Quaderelementen 48

3 Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen 51

3.1 Direkte oder iterative Verfahren? 51

3.2 Direkte Verfahren 53

3.2.1 Der Gaußsche Algorithmus 53

3.2.2 Symmetrische Matrizen. Das Cholesky-Verfahren 58

3.2.3 Weitere direkte Verfahren 60

3.3 Iterative Verfahren 65

3.3.1 Allgemeine Bemerkungen 65

3.3.2 Das Jacobi-Verfahren, das Gauß-Seidel-Verfahren und das Verfahren der sukzessiven Überrelaxation (SOR) 67

3.3.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten (CG) 71

3.3.4 Vorkonditionierte CG-Verfahren (PCG) 75

3.3.5 Mehrgitterverfahren 80

4 Konvergenzaussagen 85

4.1 Allgemeine Bemerkungen zur Konvergenzproblematik 85

4.2 Ein Beweis einer Fehlerabschätzung für Dreieckselemente vom Typ 1 86

4.2.1 Zurückführung des Konvergenzproblems auf ein Approximationsproblem 86

4.2.2 Die Approximation durch stückweise lineare Funktionen 87

4.2.3 Fehlerabschätzung für Dreieckelemente vom Typ 1 97

4.3 Zusammenfassung der Resultate 99

5 Numerische Integration 107

5.1 Allgemeine Bemerkungen 107

5.2 Der Quadraturfehler für lineare Elemente 108

5.3 Eine Übersicht: passende Integrationsformeln 112

6 Randapproximation. Isoparametrische Elemente 121

6.1 Approximation des Gebietes Ω durch ein Polygon 121

6.2 Isoparametrische Elemente 124

6.3 Randapproximation mit Hilfe isoparametrischer quadratischer Elemente 128

7 Gemischte Verfahren 131

7.1 Ein Strömungsproblem (Stokes-Problem) 131

7.2 Laplace-Gleichung 135

7.3 Biharmonische Gleichung 140

7.3.1 Stetiges und diskretes Problem 140

7.3.2 Formulierung als gemischtes Problem 142

7.4 Lösung der entstehenden Gleichungssysteme 146

8 Nichtkonforme FEM 151

8.1 Laplace-Gleichung 151

8.1.1 Diskretes Problem 151

8.1.2 Konvergenzproblem 156

8.1.3 Beispiele nichtkonformer finiter Dreieck- und Rechteckelemente 158

8.2 Biharmonische Gleichung 164

8.2.1 Stetiges und diskretes Problem 164

8.2.2 Beispiele nichtkonformer finiter Dreieck- und Rechteckelemente 166

8.3 Stokes-Problem 172

9 Nichtstationäre (parabolische) Aufgaben 177

9.1 Das stetige, das semidiskrete und das diskrete Problem 177

9.2 Numerische Integration von Anfangswertaufgaben: eine Übersicht 179

9.3 Die Diskretisierung des semidiskreten Problemsmit dem θ-Schema 187

9.4 Eine Gesamtfehlerabschätzung für das θ-Schema 189

10 Gittergenerierung und Gittersteuerung 193

10.1 Erzeugung und Verfeinerung von Dreiecksgittern 193

10.2 Fehlerschätzung und Gittersteuerung 197

10.2.1 Residuale und zielorientierte Fehlerschätzer 198

10.2.2 Schätzer, basierend auf Superkonvergenz und Mittelung 201

Anhang A Hinweise auf Software und ein Beispiel 205

A.1 Notwendige Files für das MATLAB-Programmfem2d 206

A.2 Einige numerische Ergebnisse 209

Literaturnachweis 213

Index 217