Skip to main content

Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie

Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie

Günter Lumpe, Volker Gensichen

ISBN: 978-3-433-60443-4

Mar 2014

288 pages

Select type: E-Book

$40.99

Description

Umfangreiche Überprüfungen von Stabtheorie und
Berechnungsergebnissen durch die Verfasser belegen, dass
der EDV-gestützte Entwurf eines Tragwerks grob fehlerhaft sein
kann. Das vorliegende Buch klärt die Frage, wie wirklichkeitsnah
die Resultate aktueller Stabstatik-Software ausfallen. Mit Hilfe
zahlreicher Referenzbeispiele kann jeder Anwender diese Frage
für die von ihm genutzte Software prüfen. Darüber hinaus wird
ein Abriss der genauen geometrisch nichtlinearen
Biegetorsionstheorie und deren Aufbereitung für die FEM
dargestellt.

Dieses Buch ist ein unverzichtbares Hilfsmittel
für Aufsteller und Prüfer von Standsicherheitsnachweisen
sowie für Software-Entwickler.

Prof. Dr.-Ing. Günter Lumpe ist seit 1991 Professor für
Stahlbau an der Hochschule Biberach. Er war über zehn Jahre
im industriellen Stahl- und Anlagenbau praktisch tätig.

Prof. Dr.-Ing. Volker Gensichen war im Industrie- und Anlagenbau
tätig. Bis 2007 lehrte er Massivbau und Stahlbau an der FH
Münster. Er beschäftigt sich mit der Verifikation der Ergebnisse
von Statik-Software und ist stellv. Vorsitzender im VDI-Ausschuss
„Softwaregestützte Tragsicherheitsnachweise“.

Vorwort

Zum Gebrauch dieses Buches 1

Teil 1 Zehn einfache Prüfbeispiele

zur Verifikation von Software-Ergebnissen

Beispiel 1 Einachsige Biegung mit Druck 11

Kragstütze mit aufgesetztem Koppelträger

Beispiel 2 Durchschlagprobleme –

Analyse nach Th.II.O. unzulässig 16

Unsymmetrisches v. MISES-Fachwerk mit geringem Stichmaß

Beispiel 3 Doppelbiegung – ein simpler Fall? 20

Gabelgelagerter Einfeldträger mit Einzellasten Fy und Fz in Feldmitte

Beispiel 4 Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung –

Biegeknicken nach zwei Richtungen, Drillknicken 26

Über vier Geschosse durchlaufende, planmäßig zentrisch beanspruchte

Stütze mit unterschiedlichen Randbedingungen in y- und z-Richtung

Beispiel 4a: Gabellagerung in jedem Geschoss 26

Beispiel 4b: Gabellagerung nur an den Enden der Stütze 29

Beispiel 5 Gekoppelte Beanspruchung in der System-Ebene

und senkrecht zur Ebene 33

Ebenes Rautenfachwerk mit biege- und torsionssteifen Knoten

Beispiel 6 Biegedrillknicken ohne Normalkraft – ein Standard-Beispiel aus der Literatur 37

Gabelgelagerter Einfeldträger mit Streckenlast und sinusförmiger Vorkrümmung

Beispiel 7 Biegedrillknicken mit Normalkraft 40

Abgespannter Träger mit Kragarm

Beispiel 7a: Anschluss der Abspannung im Schwerpunkt

Beispiel 7b: Anschluss der Abspannung am Obergurt

Beispiel 8 Zustandslinien der Torsionsmomente – Verlauf an Lasteinleitungspunkten 47

Tordierter Balken mit Längs- und Querlasten

Beispiel 9 Torsion wölbfreier Querschnitte – für Software unerwartet problematisch 50

Tordierter Kragträger

Beispiel 10 Wie genau wird die nichtlineare Verformungsgeometrie erfasst? 53

Zwei Prüfbeispiele mit ebener Beanspruchung

Beispiel 10a: Biegeträger mit beidseitig unverschieblichen Lagern 53

Beispiel 10b: Kragträger mit Lastmoment am freien Ende 55

Teil 2 Nichtlineare Stabtheorie großer Verformungen bei räumlicher Beanspruchung

Theoretische Grundlagen und weitere Prüfbeispiele

1 Einleitung 61

2 Theorie II. und III. Ordnung – die großen Missverständnisse

2.1 Vorbemerkungen 62

2.2 Verformungsgeometrie 63

2.3 Gleichgewicht am verformten System 64

2.4 Einfluss der Normalkraft auf die Verdrillung 66

2.5 Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion und der sekundären Schubverformungen 68

2.6 Asymptotisches Verhalten und Genauigkeit 72

2.7 Durchschlagprobleme 75

2.7.1 Allgemeines 75

2.7.2 Beispiel: Stahlträger einer pagodenförmigen Kuppel 80

2.8 Klassifizierung 83

2.9 Superposition 86

2.10 Theorie III. Ordnung 86

2.11 DIN 18800 / EC3: Nachweis am Gesamtsystem 88

2.12 Zusammenfassung 90

3 Torsionstheorie II. Ordnung: Wölbkrafttorsion mit Normalkraft

3.1 Vorbemerkungen 92

3.2 Erläuterung der Problematik an einem Beispiel 93

3.3 Herleitung des Torsionsmomenten-Anteils MxN 95

3.4 Klärung für den Sonderfall const 98

3.4.1 Belastung durch MT und N (inhomogener Fall) 98

3.4.2 Drillknicken (homogener Fall) 101

3.4.3 Spannungen 102

3.4.4 Baustatische Relevanz 103

3.5 Allgemeiner Fall const 104

3.5.1 Problemstellung 104

3.5.2 Übergangsbedingungen an Lasteinleitungsstellen innerhalb eines Trägers 105

3.5.3 Bedingungen am Rand eines Trägers 108

3.5.4 Einleitung von MT bzw. Fx : Zusammenfassung 108

3.5.5 Drillknicken 109

3.5.5.1 DK-Last des beidseitig gabelgelagerten Trägers 109

3.5.5.2 Abgrenzung Drillknicken / Biegeknicken (DK / BK) 110

3.5.5.3 Einfluss des Wölbwiderstands auf die Drillknicklast 115

3.5.5.4 Last-Verdrillungskurven und asymptotisches Verhalten 117

4 Torsionstheorie großer Verformungen

4.1 Vorbemerkungen 118

4.2 Helix-Torsion: der Schraubenlinien-Effekt 118

4.2.1 Geometrie der Schraubenlinie (Helix) 118

4.2.2 Helix-Normalspannungen xH

und Helix-Torsionsmoment MxH 120

4.2.3 Ermittlung der Helix-Flächenmomente 124

4.2.4 Helix-Schubspannungen xH 127

4.3 Torsion mit Normalkraft: Sonderfall const 129

4.3.1 Gleichgewicht, Differenzialbeziehung, Drillknicken 129

4.3.2 Verformungen und Zustandslinien 132

4.3.3 Last-Verdrillungskurven 132

4.3.4 Analytische Lösung 136

4.3.5 Ausnutzungsgrad des Querschnitts und baustatische Relevanz 142

4.4 Torsion mit Normalkraft: allgemeiner Fall const 147

4.4.1 Gleichgewicht, Differenzialbeziehung, Drillknicken 147

4.4.2 Zustandslinien 147

4.4.3 Last-Verdrillungskurve 150

4.4.4 Spannungen und Querschnittsausnutzung 154

4.5 Analogiebetrachtungen zu MxN und MxH

an zwei „Makro-Systemen“ 158

4.5.1 Analogiebetrachtung zu MxN 158

4.5.2 Analogiebetrachtung zu MxH 162

5 Allgemeine Stabtheorie großer räumlicher Verschiebungen und Drehungen

5.1 Vorbemerkungen 166

5.2 Grundlagen und Annahmen 167

5.3 Kinematik des Stabraums 169

5.3.1 Annahmen und Voraussetzungen zur Beschreibung der Deformation 169

5.3.2 Klassische Kinematik: Drehung mit „Winkelgrößen“ 170

5.3.2.1 Rotation um eine schiefe Raumachse 171

5.3.2.2 Rotation um raumfeste Koordinatenachsen 177

5.3.2.3 Rotation um Folgeachsen (Kardanwinkel) 178

5.3.2.4 Semitangentiale Drehungen 179

5.3.2.5 Bewertung der Verwendung von „Winkelgrößen“ 179

5.3.3 Drehungen, ausgedrückt durch Verschiebungen 180

5.3.3.1 Basisvektoren und Ableitungen 182

5.3.3.2 Drehtensor 183

5.4 Potenzial des elastischen Stabes 184

5.4.1 Einführung von Relativ- und Gesamtkinematen 184

5.4.2 Verschiebungsansatz 186

5.4.3 Dehnungs- und Verzerrungsmaß 188

5.4.3.1 Allgemeine Herleitung für den Stabraum 188

5.4.3.2 Vergleich mit den „Ingenieurdehnungen“ 192

5.4.4 Elastizitätsgesetz 193

5.4.5 Potenzial der inneren Kräfte 194

5.4.5.1 Potenzialanteil aus Längsdehnungen: 1 i 194

5.4.5.2 Darstellung der Potenzialterme aus Längsdehnungen 196

5.4.5.3 Potenzialanteil aus Schubverzerrungen: 2 i 202

5.5 Elementkräfte und Element-Steifigkeitsmatrizen (Relativkinematik) 204

5.5.1 Variation (Ableitung) nach Relativkinematen 204

5.5.2 Transformation der Relativkinematen auf Gesamtkinematen 205

5.6 Gesamtstruktur und globales Gleichgewicht 205

5.6.1 Gelenke und lokale Randbedingungen für Verwölbungen 205

5.6.2 Transformation von Komponenten auf globale Basen 206

5.6.2.1 Transformation von Knotenverschiebungen u, v, w 207

5.6.2.2 Transformation von Knotendrehgrößen w2 , u3 , u2 207

5.6.3 Globales Gleichgewicht und Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems 208

5.7 Beispiel: St. VENANT-Torsion mit Normalkraft 208

5.7.1 Allgemeines 208

5.7.2 Verschiebungen und Verzerrungen des Stabes 209

5.7.3 Verschiebungen und Verzerrungen bei St. VENANT-Torsion 210

5.7.4 Gleichgewicht nach der energetischen Methode 213

5.7.4.1 Potenzialanteil und Variation aus Längsdehnungen 213

5.7.4.2 Potenzialanteil und Variation aus Schubverzerrungen 217

5.8 Beispiel: Große Drehung einer Federplatte 218

5.8.1 Potenzial und Gleichgewicht 219

5.8.2 Berechnung der Momente: direkte Methode 220

5.8.3 Berechnung der Momente über „Winkelgrößen“ 222

5.8.3.1 Berechnung der „Drehwinkel“ 222

5.8.3.2 Kontrolle der Drehmatrix T 222

5.8.3.3 Ermittlung der Momente 223

5.9 Zur Einleitung von Momenten mit richtungstreuer bzw. zirkulatorischer Charakteristik 225

5.9.1 Änderung des Potenzials der äußeren Kräfte 226

5.9.2 Beispiel zur Variation des Potenzials gem. 5.9.1 227

5.9.3 Beispiel: Kragträger mit zirkulatorischer bzw. nicht-zirkulatorischer Last 230

5.10 Praktische Anwendungsbeispiele 232

5.10.1 Durchlaufträger mit Doppelbiegung 232

5.10.1.1 Systeme und Belastung 232

5.10.1.2 Ergebnisse für System 1 (3 Gabellager) 234

5.10.1.3 Ergebnisse für System 2 (2 Gabellager) 241

5.10.2 Balken mit Kragarm und exzentrischer Einzellast 243

5.10.3 Schlussfolgerungen aus den Beispielen 249

6 Einfluss der Güte der Stabtheorie auf das Konvergenzverhalten

6.1 Einführung 251

6.2 Potenzial für einachsige Biegung mit Druck 252

6.3 Lineare Kräfte und Steifigkeitsmatrix 252

6.4 Nichtlineare Kräfte und Steifigkeitsmatrix 253

6.4.1 Variante 1: Berücksichtigung aller Terme, v linear 254

6.4.2 Variante 2: ohne Terme 4. Ordnung, v linear 255

6.4.3 Variante 3a: ohne Terme 4. Ordnung, v linear, N konstant 256

6.4.4 Variante 3b: ohne Terme 4. Ordnung, v kubisch, N konstant 257

6.5 Konvergenzverhalten und Bewertung 258

7 Zusammenfassung und Ausblick 260

Literatur und EDV-Programme 263

Sachverzeichnis 268