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Finanzmathematik: Zins-, Renten- und Tilgungsrechnung verstehen

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Finanzmathematik: Zins-, Renten- und Tilgungsrechnung verstehen

Bernd Kuppinger

ISBN: 978-3-527-69974-2 October 2015 303 Pages

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Description

Die Finanzmathematik ist unter Wirtschaftswissenschaftlern nicht immer beliebt. Sie gilt als kompliziert und recht lernintensiv. Bernd Kuppinger will Ihnen in diesem Buch zeigen, dass das nicht so sein muss. Er erklärt Ihnen so verständlich wie möglich, was Sie über Zins-, Renten- und Tilgungsrechnung wissen müssen. Er gibt eine Einführung in die Investitionsrechnung und bringt Ihnen in einem eigenen Teil auch noch das mathematische Handwerkszeug näher, das Sie brauchen, um in der Finanzmathematik zu bestehen. Viele Beispiele helfen Ihnen, den Bezug zur Praxis herzustellen, und mit den zahlreichen Übungsaufgaben können Sie Ihr Wissen festigen und testen.
Einleitung 13

1 Es geht ums Geld 17

1.1 Zeit und Geld 17

1.2 Inflation und Deflation 18

1.3 Barwert und Endwert 21

1.3.1 Nominalwert und Äquivalenzprinzip 22

Teil I: Einzelne Zahlungen 25

2 Zinsrechnung über ganze Jahre 25

2.1 Definition wichtiger Begriffe 25

2.2 Zinsberechnung über eine Periode/ein Jahr 26

2.2.1 Vom Endwert zum Barwert 27

2.3 Einfache Verzinsung über mehrere Perioden/mehrere Jahre 28

2.3.1 Zinsanteil und Kapitalendwert 29

2.3.2 Vom Endwert zum Barwert 30

2.3.3 Unterschiedliche Zinssätze 31

2.3.3.1 Vom Endwert zum Barwert bei unterschiedlichen Zinssätzen 31

2.4 Zinseszinsrechnung über mehrere Perioden/Jahre 32

2.4.1 Kapitalendwertberechnung mit Zinseszinsen 34

2.4.2 Der Barwert in der Zinseszinsrechnung 36

2.4.3 Zinseszinsrechnung mit unterschiedlichen Periodenzinssätzen 36

2.5 Durchschnittliche Verzinsung 38

2.5.1 Durchschnittliche Verzinsung bei einfacher Verzinsung 38

2.5.2 Durchschnittszins bei exponentieller Verzinsung 39

2.5.2.1 Die Ungleichheit von geometrischem und arithmetischem Mittel 40

2.6 Anwendungsbeispiele für die lineare und die exponentielle Verzinsung 40

2.7 Formelübersicht zu den Kapitel 2 41

3 Unterjährliche Zinsrechnung 43

3.1 Zum Unterschied zwischen Nominal- und Effektivzinssatz 44

3.2 Unterjährlich lineare Verzinsung 44

3.2.1 Der linear proportionale Zinssatz 45

3.2.1.1 Konformer Zinssatz 46

3.3 Konformer Zinssatz bei unterjährlicher Zinseszinsrechnung 46

3.3.1 Linear proportionaler Zinssatz nicht mehr konform 47

3.3.2 Der exponentiell proportionale Zinssatz 48

3.3.3 Effektivzinssatz bei unterjährlicher Verzinsung – Effektivzins zum Ersten 49

3.3.4 Zinsberechnungsmethoden 51

3.3.4.1 Deutsche kaufmännische Methode (30/360) 52

3.3.4.2 Französische Methode (act/360) 53

3.3.4.3 Effektivzinsmethode (act/act) 54

3.3.4.4 Anwendungsbeispiel Lieferantenkredit 55

3.3.5 Stetige Verzinsung 56

3.3.5.1 Grenzwert der stetigen Verzinsung 56

3.3.5.2 Anwendungen der stetigen Verzinsung 57

3.4 Unterjährliche Zinseszinsrechnung über mehrere Jahre 59

3.4.1 Verwendung des linear proportionalen Zinssatzes 59

3.4.1.1 Extremfall stetige Verzinsung 60

3.4.2 Verwendung des exponentiell proportionalen Zinssatzes 60

3.4.2.1 Gebrochene Exponenten in der Zinseszinsrechnung 61

3.5 Gemischte Verzinsung 62

3.5.1 Berechnung des Kontostandes bei unterjährlichen Ein- und Auszahlungen 63

3.5.2 Barwert bei gemischter Verzinsung 65

3.5.3 Die Ungerechtigkeit der gemischten Verzinsung 66

3.6 Formelübersicht zu den Kapiteln 2 und 3 67

Teil II: Mehrere Zahlungen 71

4 Zahlungsströme 71

4.1 Einleitung 71

4.2 Finanzmathematische Bewertung von Zahlungsströmen 71

4.2.1 Endwertberechnung 73

4.3 Der Kalkulationszinssatz 74

4.3.1 Kriterien für den Kalkulationszinssatz 75

4.4 Zahlungsströme mit unterjährlichen Zahlungen 76

4.4.1 Unterjährliche Zinseszinsen 77

4.4.2 Unterjährlich lineare Verzinsung 78

4.4.3 Vergleich der beiden unterjährlichen Varianten 79

4.5 Formelübersicht 80

5 Rentenrechnung 83

5.1 Zahlungsempfang oder Zahlungsleistung – kommt es darauf an? 83

5.2 Rentenwert bei konstanter Rate und konstantem Zinssatz 84

5.2.1 Nachschüssige Zahlungsweise 85

5.2.1.1 Anwendung der geometrischen Reihe 86

5.2.2 Vorschüssige Zahlungsweise 87

5.2.3 Unterjährliche Rentenzahlungen 89

5.2.3.1 Unterjährliche Zinseszinsrechnung 89

5.2.3.2 Gemischte Verzinsung 90

5.3 Rentenwert bei unterschiedlichen Raten und Zinssätzen 91

5.3.1 Unterschiedliche Zinssätze – Teilrenten 91

5.3.2 Unterschiedliche Raten – Dynamische Renten 93

5.3.2.1 Arithmetische Änderung der Rate 94

5.3.2.2 Geometrische Änderung der Rate 95

5.4 Formelübersicht 98

6 Kapitalaufbau und Kapitalverbrauch 101

6.1 Kapitalaufbau 101

6.2 Nachschüssiger Kapitalverbrauch 103

6.2.1 Berechnung der möglichen Entnahmerate 105

6.2.1.1 Berechnung des benötigten Anfangskapitals 105

6.2.1.2 Berechnung der möglichen Entnahmedauer 106

6.2.2 Entnahme ohne Verbrauch – Ewige Rente 106

6.2.3 Kapitalaufbau trotz Entnahme 107

6.2.4 Unterjährliche Raten 108

6.3 Vorschüssiger Kapitalverbrauch 109

6.4 Kapitalverbrauch mit geometrischer Rate 110

6.4.1 Bar- und Endwertberechnung 110

6.4.2 Berechnung der möglichen Entnahmedauer 111

6.5 Kombination von Kapitalaufbau und -verbrauch 112

6.5.1 Jährliche Raten 113

6.5.2 Unterjährliche Entnahme 114

6.5.3 Unterbrechung zwischen Aufbau und Verbrauch 115

6.5.4 Unterbrechungen innerhalb der Anspar- oder Verbrauchsphase 116

6.5.5 Anfangs- und Endkapital ungleich null 117

6.6 Formelübersicht 118

7 Tilgungsrechnung 121

7.1 Begriffe 121

7.2 Endfällige Darlehen 123

7.2.1 Jährlich geleistete Zinszahlungen 123

7.2.2 Zinszahlung am Ende der Laufzeit 123

7.3 Tilgung in jährlichen Raten 124

7.3.1 Ratentilgung 124

7.3.2 Annuitätentilgung 126

7.3.3 Vergleich von Raten- und Annuitätentilgung 127

7.3.3.1 Ein anderer Weg zur gleichen Erkenntnis 129

7.3.4 Bestimmung der Laufzeit bei Raten- und Annuitätentilgung 130

7.4 Tilgung in unterjährlichen Raten 131

7.4.1 Unterjährlich lineare Verzinsung 131

7.4.2 Unterjährlich exponentielle Verzinsung 133

7.5 Effektivzinssatz von Krediten – Effektivzins zum Zweiten 136

7.5.1 Zwei Ideen zur Effektivzinsbestimmung 136

7.5.2 Tilgungspläne zur Effektivzinsbestimmung 137

7.5.3 Vorgehensweise zur richtigen Effektivzinsermittlung 139

7.5.4 Vergleich mit dem Effektivzins der unterjährlichen Zinseszinsrechnung 141

7.6 Formelübersicht 142

8 Wertpapiere – Kauf und Verkauf von Zahlungsansprüchen 145

8.1 Allgemeines zu Kurs und Rendite 145

8.1.1 Der Kurs als Werteverhältnis 145

8.1.2 Die Rendite als Zinssatz 146

8.2 Wertpapiere und Anleihen – Begriffe 148

8.3 Zahlungsstrom einer festverzinslichen Anleihe 148

8.3.1 Kurs einer Anleihe bei ganzjähriger Restlaufzeit 149

8.3.1.1 Warum nicht lineare Diskontierung? 151

8.3.2 Rendite einer festverzinslichen Anleihe 152

8.3.2.1 Rendite mit Nominalwerten 152

8.3.2.2 Rendite allgemein 153

8.3.2.3 Negative Rendite = Verlust 154

8.3.3 Rendite bei vorzeitigem Verkauf 155

8.3.3.1 Erster Fall, Zinssatz gefallen 156

8.3.3.2 Zweiter Fall, Zinssatz gestiegen 157

8.3.3.3 Die Perspektive des Käufers 157

8.4 Kursberechnung bei beliebiger Restlaufzeit 157

8.4.1 Stückzins- und Kursberechnung 158

8.5 Formelübersicht 159

Teil III: Investitionsrechnung 161

9 Einzelne Investitionsprojekte 161

9.1 Voraussetzungen und Begriffe 162

9.1.1 Investition und Normalinvestition 162

9.1.2 Umgang mit Unsicherheit – Modellcharakter der Investitionsrechnung 163

9.1.3 Planungszeitraum, Abschreibungen und Steuern 163

9.1.4 Finanzierungsarten 164

9.1.5 Zahlungen während des Investitionsprozesses 164

9.2 Ein kurzer Blick auf statische Verfahren 165

9.2.1 Gewinnrechnung 165

9.3 Dynamische Verfahren 166

9.3.1 Die Wahl des Kalkulationszinssatzes 167

9.3.2 Beispiel für die Investitionsrechnung 167

9.4 Kapitalwertmethode 169

9.4.1 Interpretation des Ergebnisses 169

9.4.1.1 Der Endwert ist die anschaulichere Größe 170

9.4.1.2 Zurück zum Barwert 171

9.4.2 Deutung eines negativen Barwertes 172

9.4.3 Fazit Kapitalwertmethode 173

9.4.4 Exkurs – Kreditvergabe als Investition 173

9.5 Amortisationsdauer 174

9.5.1 Die Amortisationsdauer als Beurteilungskriterium 175

9.6 Der innere Zins – Effektivzins zumDritten 175

9.6.1 Grafische Darstellung des inneren Zinssatzes 176

9.6.2 Einfache Fälle 176

9.7 Vermögensendwertmethode 177

9.7.1 Kontenausgleichsverbot 178

9.7.2 Kontenausgleichsgebot 179

9.8 Methodenvergleich 180

9.9 Steuerliche Effekte 180

9.9.1 Veränderung des Kalkulationszinssatzes 180

9.9.2 Anwendung auf das Einführungsbeispiel 181

9.9.2.1 Erörterung des Ergebnisses 182

9.10 Nicht-Normalinvestitionen 183

9.11 Formelübersicht 185

10 Vergleich von Investitionsprojekten 189

10.1 Beispiel für die Vergleichsrechnung 189

10.2 Vergleich der Kapitalwerte – Vorteil Investition 1 190

10.2.1 Voraussetzungen für die Vergleichbarkeit 190

10.2.1.1 Unterschiedliche Anfangsauszahlung 191

10.2.1.2 Differenzinvestition 191

10.2.1.3 Unterschiedliche Nutzungsdauer 192

10.3 Einspruch – beim inneren Zins gewinnt Investition 2! 193

10.3.1 Bestimmung des Schnittpunktes der Barwertkurven 194

10.4 Und was sagt die Amortisationsdauer? 194

10.5 Fazit 195

10.6 Ausschlussverfahren ohne Rechnung 195

10.7 Formelübersicht 197

11 Weg mit der Kristallkugel – Unsicherheiten bei Investitionsentscheidungen 199

11.1 Unsichere Größen im Investitionsprozess 200

11.1.1 Anwendung auf das Beispiel 200

11.1.1.1 Einheitlicher Korrekturfaktor für die Rückflüsse 201

11.1.1.2 Periodenbezogener Korrekturfaktor für die Rückflüsse 201

11.1.1.3 Unsicherheit des Kalkulationszinssatzes 201

11.2 Sensitivitätsanalysen 202

11.2.1 Sensitivitätsanalyse eines Parameters 202

11.2.2 Sensitivitätsanalyse mit zwei Parametern 203

11.2.2.1 Wie Sie den vorteilhaften Bereich erkennen 204

11.3 Alternativrechnungen 205

11.3.1 Simultane Alternativrechnungen mit zwei Parametern 205

11.3.1.1 Tabellarische Ergebnisübersicht 206

11.3.1.2 Grafische Ergebnisaufbereitung – Risikoprofil 207

11.3.1.3 Interpretation der Rechteck-Flächen 209

11.3.2 Viele Parameter – Simulation mit Excel 212

11.3.2.1 Auswahl der Parameter und Wahrscheinlichkeitsannahmen 212

11.3.2.2 Idee der Simulation 214

11.3.2.3 Zufall per Computer 214

11.3.2.4 Umsetzung mit Excel 215

11.3.2.5 Zuordnung von Parameterwerten 215

11.3.2.6 Berechnung der Barwerte 216

11.3.2.7 Klasseneinteilung und Häufigkeitszählung 217

11.3.2.8 Darstellung als Risikoprofil 218

11.3.2.9 Der Zufall im Zufall – „Beweglichkeit“ der Kurven 220

11.3.2.10 Und was ist mit den Erwartungswerten? 220

11.4 Formelübersicht 221

Teil IV 223

12 Mathematische Grundlagen 223

12.1 Mathe? Konnte ich noch nie (leiden)! 223

12.2 Hantieren mit einfachen Gleichungen 224

12.2.1 Umstellen von Gleichungen 225

12.2.2 Einseitige Operationen – Ausklammern und Erweitern 225

12.2.3 Auflösungserscheinungen 226

12.3 Hoch- und Tiefbau – Potenzen und Wurzeln 226

12.3.1 Potenzgesetze 227

12.3.1.1 Positiver ganzzahliger Exponent 227

12.3.1.2 Negativer ganzzahliger Exponent 227

12.3.1.3 Potenzierung von Potenzen 228

12.3.1.4 Wurzeln – Bruchzahlen als Exponent 228

12.3.1.5 Negative gebrochene Exponenten – Wurzeln imNenner 229

12.3.1.6 Einschränkungen beim Wurzelziehen 230

12.4 Abhängigkeitsverhältnisse – Die Funktionen 230

12.4.1 Darstellung von Funktionen 231

12.4.2 Die Potenzfunktion 232

12.4.3 Rollentausch – Die Exponentialfunktion 234

12.4.4 Kommando zurück – Der Logarithmus 236

12.4.4.1 Die Bauweise der Logarithmusfunktion 237

12.4.4.2 Die verschiedenen Logarithmusfunktionen 238

12.4.4.3 Verlauf der e- und der ln-Funktion 239

12.4.5 Anwendungen der Logarithmusfunktion 239

12.4.5.1 Umkehrung der e-Funktion 239

12.4.5.2 Logarithmen von Produkten und Quotienten 239

12.4.5.3 Logarithmen von Potenzen 240

12.4.5.4 Umrechnung in eine andere Basis 241

12.5 Spezielle Gleichungen 242

12.5.1 Quadratische Gleichungen 242

12.5.1.1 Die Lösungen einer quadratischen Gleichung 243

12.5.2 Polynomiale Gleichungen und die Regula falsi 243

12.5.2.1 Die Regula falsi 244

12.5.2.2 Zweite Näherung 245

12.5.3 Der Excel-Solver 246

12.5.3.1 Aktivierung des Solvers 247

12.5.3.2 Aufruf des Solvers 247

12.5.4 Wurzelgleichungen 252

12.6 Folgen, Reihen und Summen 253

12.6.1 Das diskrete Pendant der Funktionen – die Folgen 253

12.6.1.1 Die arithmetische Folge 254

12.6.1.2 Die geometrische Folge 255

12.6.2 Summen und Reihen 256

12.6.2.1 Summenschreibweise 256

12.6.2.2 Rechenregeln für Summen 257

12.6.2.3 Berechnung einzelner Summen 258

12.6.2.4 Summenberechnung mit der arithmetischen Reihe 258

12.6.2.5 Summenberechnung mit der geometrischen Reihe 259

12.6.2.6 Herleitung von Formel 5-6 262

12.6.2.7 Unendliche Reihen 263

12.7 Prozente und Prozentpunkte 264

12.7.0.1 Prozentuale Änderungen berechnen 264

12.7.0.2 Prozentangabe in absoluten Wert umrechnen 265

12.7.0.3 Neuen Wert berechnen 265

12.7.0.4 Zurück zum bisherigen Wert rechnen 265

12.7.0.5 Prozentpunkte – Änderung von prozentual angegebenen Werten 266

Lösungen zu den Übungsaufgaben 269

Literaturverzeichnis 299

Index 301