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MATLAB und Mathematik kompetent einsetzen: Eine Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 2. Auflage

MATLAB und Mathematik kompetent einsetzen: Eine Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 2. Auflage

Stefan Adam

ISBN: 978-3-527-41262-4

Dec 2016

502 pages

Vorwort XV

1 Grundkenntnisse von MATLAB 1

1.1 Bekanntschaft schließen mit MATLAB 1

1.1.1 Die Arbeitsoberfläche vonMATLAB 1

1.1.2 Zum Einstieg: Berechnungen mit einfachen Zahlen 2

1.1.3 Befehlsstruktur: ein erster Überblick 4

1.1.4 Berechnung oder Formel-Manipulation? 6

1.1.5 Tabellen, Vektoren undMatrizen 11

1.1.6 Hintergrundinformation und Hilfefunktionen 13

1.1.7 Datenaustausch mit Files 15

1.2 Grundlagen der Matrizenrechnung 20

1.2.1 Definitionen und Fachausdrücke 20

1.2.2 Indizieren der Matrixelemente 24

1.2.3 Das Transponieren einer Matrix 24

1.2.4 Addition und Subtraktion vonMatrizen 25

1.2.5 Das Produkt von zwei Matrizen 26

1.2.6 Die Einheitsmatrix 30

1.2.7 Kann man durchMatrizen dividieren? 31

1.3 Matrizenrechnung mit MATLAB 33

1.3.1 Einstieg in die Matrizenrechnung mit MATLAB 33

1.3.2 Indizieren in MATLAB 37

1.3.3 Beispiele zur Schleifenprogrammierung 39

1.3.4 Turmmatrizen (Permutationsmatrizen) 40

1.3.5 Einfache Beispiele von linearen Gleichungssystemen 42

1.3.6 Matrizen zur Darstellung von Daten 43

1.4 Schritte zum eigenen Programm 46

1.4.1 Skript-M-Files und Funktions-M-Files 46

1.4.2 Objekt-Orientiertes Programmieren 52

1.5 Einfache grafische Darstellungen mit MATLAB 56

1.5.1 Funktionsdarstellungen 57

1.5.2 Polygone, Kreise, Sterne 60

1.5.3 Flächen malen 62

1.5.4 Properties von grafischen Objekten 64

1.6 Übersicht über die wichtigsten Grundbefehle in MATLAB 65

1.6.1 InMATLAB definierte Operatoren und Grundbefehle 65

1.6.2 Das Definieren von Zahlen,Matrizen und Vektoren 68

1.6.3 Schleifen und Bedingungen 70

1.6.4 Mathematische Funktionen 71

1.6.5 Grundfunktionen im symbolischen Modus 72

1.6.6 „struct“- und „cell“-Variablen 73

1.6.7 Grafische Darstellungen 74

1.7 MATLAB Grundlagen aktivieren 76

2 Auffrischen der Elementarmathematik 91

2.1 Basiswissen zum Funktionsbegriff 91

2.1.1 Funktionen als spezielle Relationen 91

2.2 Linienplots in MATLAB 96

2.2.1 Grundfunktionen kennenlernen mit MATLAB 97

2.2.2 Kurven in Parameterdarstellung 100

2.2.3 Spiralen 102

2.2.4 Zykloiden 103

2.2.5 Weitere Mathematische Klassiker 106

2.2.6 Die „Versiera di Agnesi“ 107

2.2.7 Interpolationsfunktionen 110

2.2.8 Ausflug ins Dreidimensionale 114

2.3 Folgen und Reihen 116

2.3.1 Arithmetische Folgen und Reihen 117

2.3.2 Geometrische Folgen und Reihen 119

2.3.3 Die Anwendung bei Zinsberechnungen 122

2.3.4 Beherrschbare Unendlichkeit 125

2.3.5 Fibonacci-Folgen 128

2.4 Keine Angst vor komplexen Zahlen! 129

2.4.1 Die Rechenregeln für komplexe Zahlen 130

2.4.2 Die n-ten Einheitswurzeln 134

2.4.3 Die n-tenWurzeln aus beliebigen Zahlen 135

2.4.4 Komplexe Zahlen näher kennenlernen 136

2.4.5 Beschreibung von stationären Schwingungen 138

2.5 Elementarmathematik aktivieren 141

3 Basiswissen zur Linearen Algebra 151

3.1 Lineare Gleichungssysteme und ihre Lösbarkeit 151

3.1.1 Gleichungssystem und zugehörige Matrizengleichung 151

3.1.2 Die verschiedenen Fälle der Lösbarkeit 152

3.1.3 Die Bedingungen zur eindeutigen Lösbarkeit – Regularität 152

3.1.4 Die wichtigsten Fachausdrücke der Lösbarkeitsdiskussion 153

3.1.5 Lineare Abhängigkeit von Vektoren 154

3.1.6 Lineare Systeme und ihre Teilräume 158

3.1.7 Die Determinante einer Matrix 160

3.2 Anwendungen von linearen Gleichungssystemen 162

3.2.1 Gleichungssysteme aus Tabellenkalkulationen 162

3.2.2 Kirchhoff’sche Netze 163

3.2.3 Statik von Tragwerken 166

3.2.4 Dünn besetzte Matrizen 169

3.2.5 Polynombestimmung 169

3.3 Orthogonalität und Projektionen 171

3.3.1 Orthogonale Vektoren 171

3.3.2 Projektionen von Vektoren 173

3.3.3 Orthogonale Teilräume 175

3.3.4 Orthogonale Matrizen 175

3.4 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme 177

3.4.1 Die Bedeutung der Dreiecksmatrizen 177

3.4.2 Der Gauß-Algorithmus 177

3.4.3 Der Gauß-Algorithmus mit MATLAB 180

3.4.4 Das Vertauschen von Zeilen: Pivot-Suche 181

3.4.5 Die L-R-Zerlegung 183

3.4.6 Der Gauß-Jordan-Algorithmus 185

3.4.7 Singuläre Systeme 185

3.4.8 Die Q-R-Zerlegung 187

3.5 Eigenwerte und Eigenvektoren 190

3.5.1 Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren 190

3.5.2 Wiederholte Abbildungen durch Matrizen 192

3.5.3 Lösungsmethoden für Eigenwertprobleme 193

3.5.4 Stabilität von Systemen 196

3.6 Probleme mit der endlichen Rechengenauigkeit 197

3.6.1 Die Zahlendarstellung im Computer 197

3.6.2 Auslöschung, Stabilität undWohldefiniertheit 201

3.6.3 Die Kondition einer Matrix 203

3.6.4 Die Option digits 204

3.7 Lineare Algebra aktivieren 205

4 Ebenen- und Raumgeometrie 217

4.1 Vektoren in der Elementargeometrie 217

4.1.1 Addition und Subtraktion von Vektoren 218

4.1.2 Produkte zwischen Vektoren 220

4.2 Beispiele aus der Raumgeometrie 222

4.2.1 Geometrische Grundelemente 222

4.2.2 Geometrische Grundaufgaben 226

4.2.3 Anwendungsbeispiele 231

4.3 Längen undWinkel in höheren Dimensionen 232

4.4 Matrixformulierung geometrischer Abbildungen 236

4.5 Abbildungen in homogenen Koordinaten 240

4.5.1 Das Prinzip der homogenen Koordinaten 240

4.5.2 Homogene Koordinaten in der Ebene 240

4.5.3 Homogene Koordinaten im Raum 246

4.6 Vektorgeometrie aktivieren 250

5 Funktionensysteme, Fourier-Transformation und Faltung 259

5.1 Unendliche Reihen von Funktionen 259

5.1.1 Potenzreihen 259

5.1.2 MacLaurin- und Taylor-Entwicklungen 261

5.1.3 Integration mit Potenzreihen 263

5.2 Orthogonalpolynome 264

5.2.1 Orthogonalität von Funktionen 264

5.2.2 DieWirkung der Orthogonalität 265

5.2.3 Tschebyscheff-Polynome 267

5.3 Fourier-Reihen, Fourier-Transformation 269

5.3.1 Definition der Fourier-Reihen 269

5.3.2 Die Berechnung der Fourier-Koeffizienten 271

5.3.3 Das Fourier-Spektrum 272

5.4 Diskrete Fourier-Transformation und FFT 276

5.4.1 Definition der diskreten Fourier-Transformation 277

5.4.2 Aliasing, Nyquist-Frequenz, „sampling“ 278

5.4.3 Das Prinzip der schnellen Fourier-Transformation 280

5.4.4 M-Files zur Demonstration des FFT-Prinzips 283

5.5 Die Fourier-Transformation näher kennenlernen 286

5.6 Die einfache Faltung 289

5.6.1 Das Prinzip der einfachen Faltung 289

5.6.2 Die Faltung alsMultiplikation von Polynomen 291

5.6.3 Die Formel zur Faltung von Zahlenfolgen 292

5.6.4 Beispiele von einfachen Faltungen 294

5.6.5 Die Faltung von kontinuierlichen Funktionen 295

5.7 Zirkuläre Faltung – Faltungssatz 295

5.7.1 Die Definition der zirkulären Faltung 295

5.7.2 Der Faltungssatz 296

5.7.3 Zwei- und mehrdimensionale Faltungen 299

5.8 Funktionssystem- Faltungs- und Fourier-Theorie aktivieren 300

6 Funktionen von mehreren Variablen 311

6.1 Grundbegriffe der Funktionen von mehreren Variablen 311

6.1.1 Die Funktionsdefinition 311

6.1.2 Grafische Darstellung 312

6.1.3 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen 313

6.1.4 Illustration der partiellen Ableitung 314

6.2 Das Bilden von partiellen Ableitungen 318

6.2.1 Grundprinzip des partiellen Ableitens 318

6.2.2 Ableitungstabelle für Grundfunktionen 318

6.2.3 Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen 319

6.2.4 Beispiele von partiellen Ableitungen 319

6.2.5 Partielle Ableitungen im symbolischenModus 320

6.3 Partielle Ableitungen und das totale Differential 321

6.3.1 Die Formel für das totale Differential 321

6.3.2 Anwendung zur Berechnung der Volumenausdehnung 322

6.3.3 Empfindlichkeit der Eigenfrequenz 323

6.3.4 Kommerzielle Einflussanalyse 323

6.3.5 Das Optimierungsprinzip in mehreren Variablen 324

6.4 Höhenlinien- und Flächenplots 325

6.4.1 Höhenlinien 326

6.4.2 Dreidimensionale Flächendarstellungen 328

6.4.3 Die Funktion Meshgrid 330

6.4.4 Darstellung der Gradientvektoren 330

6.4.5 Kombinierte Flächen- und Konturdarstellungen 331

6.5 Ausgleichsrechnung 333

6.5.1 Geradenfit als Beispiel 333

6.5.2 Allgemeine lineare Ausgleichsprobleme 335

6.6 Algorithmen zur Ausgleichsrechnung 337

6.6.1 Normalengleichungen und Fehlergleichungen 338

6.6.2 Singular Value Decomposition 342

6.7 Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren 344

6.7.1 Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen 344

6.7.2 Beispiele für Lagrange-Multiplikatoren 346

6.8 Nichtlineare Gleichungssysteme 347

6.9 Kenntnisse von Funktionen mehrerer Variablen aktivieren 350

7 Differentialgleichungen 359

7.1 Die Bedeutung von Differentialgleichungen in Physik und Technik 359

7.1.1 Was ist eine Differentialgleichung? 360

7.1.2 Grundtypen von Differentialgleichungen 361

7.2 Beispiele zu den Differentialgleichungs-Typen 363

7.2.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 363

7.2.2 Partielle Differentialgleichungen 365

7.3 Analytische Lösungen von Differentialgleichungen 367

7.3.1 Lösungs-Prinzipien 367

7.3.2 Beispiele analytischer Lösungen 369

7.3.3 Oszillatorgleichungen 377

7.4 Lösungen mit Laplace-Transformationen 381

7.4.1 Das Lösungsprinzip 381

7.5 Numerische Lösungverfahren für Anfangswertprobleme 386

7.5.1 Das Grundprinzip der Lösung von Anfangswertproblemen 386

7.5.2 Das Euler-Verfahren 387

7.5.3 Runge-Kutta Verfahren 388

7.5.4 Explizite und implizite Verfahren 393

7.6 Anfangswertprobleme mit MATLAB lösen 395

7.6.1 Radioaktive Zerfälle 395

7.6.2 Der schiefeWurf, ein Körper im Gravitationsfeld 397

7.6.3 Der gedämpfte harmonische Oszillator 400

7.6.4 Demonstration des Steifheit-Effektes 402

7.6.5 Geladene Teilchen im Magnetfeld 405

7.6.6 E × B-Drift: Elektrische und magnetische Felder 406

7.7 Schnuppern am Chaos 407

7.7.1 Der Lorenz’sche Strange Attractor 407

7.8 Kenntnisse über Differentialgleichungen aktivieren 410

8 GrundlagenderStatistik 421

8.1 Motivation: Überblick über große Datenmengen 421

8.1.1 Die Schuhgrößen als Beispiel 421

8.1.2 Schlüsselzahlen zum Charakterisieren von Verteilungen 422

8.1.3 Die Formeln zur Median-Familie 423

8.1.4 Die Formeln zu Mittelwert und Standard-Abweichung 425

8.1.5 Der grafische Test einer Verteilung 428

8.2 Regressions-Analyse 429

8.2.1 Korrelations-Untersuchungen für zwei Dimensionen 429

8.3 Wahrscheinlichkeitsrechnung 433

8.3.1 Die Grundelemente von Glücksspielen 433

8.3.2 Anordnungs- und Auswahlformeln 438

8.3.3 Wahrscheinlichkeit, mathematisch definiert 443

8.3.4 Beispielprobleme 445

8.4 Statistische Verteilungen 449

8.4.1 Dichte undWahrscheinlichkeitsverteilung 449

8.4.2 Diskrete Verteilungen 450

8.4.3 Stetige Verteilungen 453

8.5 Stichproben und Tests 457

8.5.1 Der Ablauf einer Stichprobe 457

8.5.2 Statistische Tests 459

8.6 Kenntnisse zu den Grundlagen der Statistik aktivieren 462

Anhang A MATLAB professionell einsetzen 467

A.1 Erweiterungen in grafischer Richtung 467

A.1.1 Audio-Video-Sequenzen undWebinare 467

A.1.2 Erstellen von grafischen BenutzeroberflächenmitGUIDE 468

A.1.3 Simulink 468

A.2 Die Ausdehnung der Einsatzmöglichkeiten 469

A.2.1 Erweiterungen im Basispaket 469

A.2.2 Zusatzpakete 469

A.2.3 Die weltweite Benutzergemeinschaft 470

A.2.4 Rüclmeldungen und weitere Beispiele 470

Literaturhinweise 471

Zumguten Ende 473

Stichwortverzeichnis 475