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Mathematik für Chemiker, 7. Auflage

Mathematik für Chemiker, 7. Auflage

Ansgar Jüngel, Hans Gerhard Zachmann

ISBN: 978-3-527-33622-7

Nov 2014

737 pages

Vorwort zur siebten Auflage XIII

Vorwort zur sechsten Auflage XV

Vorwort zur ersten Auflage XVII

1 Mathematische Grundlagen 1

1.1 Die Sprache der Mathematik 1

1.2 Mengenlehre 3

1.3 Zahlen 6

1.4 Einige Rechenregeln 12

1.5 Kombinatorik 15

2 Lineare Algebra 23

2.1 Matrizen 23

2.2 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus 31

2.3 Determinanten 38

2.3.1 Definition 38

2.3.2 Rechenregeln 41

2.3.3 Berechnung von Determinanten 44

2.4 Lineare Unabhängigkeit und Rang einer Matrix 46

2.4.1 Lineare Unabhängigkeit 46

2.4.2 Rang einer Matrix 48

2.5 Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme 50

2.5.1 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme 50

2.5.2 Berechnung der Inversen einer Matrix 55

3 Unendliche Zahlenfolgen und Reihen 59

3.1 Unendliche Zahlenfolgen 59

3.1.1 Definitionen und Beispiele 59

3.1.2 Konvergenz einer Zahlenfolge 61

3.1.3 Das Rechnen mit Grenzwerten 64

3.2 Unendliche Reihen 68

3.2.1 Definitionen und Beispiele 68

3.2.2 Konvergenzkriterien 71

3.2.3 Das Rechnen mit unendlichen Reihen 74

3.2.4 Potenzreihen 76

4 Funktionen 79

4.1 Erläuterung des Funktionsbegriffes 79

4.2 Funktionen einer Variablen 80

4.2.1 Darstellung 80

4.2.2 Umkehrung und implizite Darstellung einer Funktion 82

4.2.3 Wichtige Begriffe zur Charakterisierung von Funktionen 84

4.2.4 Einige spezielle Funktionen 85

4.2.5 Stetigkeit 96

4.2.6 Funktionenfolgen 99

4.3 Funktionen mehrerer Variablen 102

4.3.1 Darstellung 102

4.3.2 Definitionsbereiche 107

4.3.3 Stetigkeit 108

5 Vektoralgebra 111

5.1 Rechnen mit Vektoren 111

5.1.1 Definition eines Vektors 111

5.1.2 Rechenregeln für Vektoren 114

5.1.3 Skalarprodukt 117

5.1.4 Vektorprodukt 119

5.1.5 Spatprodukt 122

5.2 Darstellung von Vektoren in verschiedenen Basen 125

5.2.1 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren 125

5.2.2 Basis im ℝ3 und Basiswechsel 128

5.2.3 Orthonormalbasis 132

6 Analytische Geometrie 137

6.1 Analytische Darstellung von Kurven und Flächen 137

6.1.1 Darstellung durch Gleichungen in x, y und z 137

6.1.2 Parameterdarstellung 146

6.2 Lineare Abbildungen 149

6.2.1 Definitionen 149

6.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 151

6.2.3 Drehungen und Spiegelungen 155

6.3 Koordinatentransformationen 162

6.3.1 Lineare Transformationen 162

6.3.2 Transformation auf krummlinige Koordinaten 169

7 Differenziation und Integration einer Funktion einer Variablen 175

7.1 Differenziation 175

7.1.1 Die erste Ableitung einer Funktion 175

7.1.2 Rechenregeln für das Differenzieren 179

7.1.3 Differenziation einiger Funktionen 183

7.1.4 Differenziation komplexwertiger Funktionen 187

7.1.5 Höhere Ableitungen 191

7.1.6 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung 192

7.1.7 Anwendungen 193

7.2 Integration von Funktionen 196

7.2.1 Das bestimmte Integral 196

7.2.2 Das unbestimmte Integral 203

7.2.3 Integrationsmethoden 207

7.2.4 Uneigentliche Integrale 216

7.2.5 Anwendungen 220

7.3 Differenziation und Integration von Funktionenfolgen 226

7.4 Die Taylor-Formel 228

7.5 Unbestimmte Ausdrücke: Regel von de l’Hospital 236

7.6 Kurvendiskussion 242

7.6.1 Definitionen 242

7.6.2 Bestimmung von Nullstellen 244

7.6.3 Bestimmung von Extrema 247

7.6.4 Bestimmung vonWendepunkten und Sattelpunkten 249

8 Differenziation und Integration von Funktionen mehrerer Variablen 251

8.1 Differenziation 251

8.1.1 Die partielle Ableitung 251

8.1.2 Höhere Ableitungen und der Satz von Schwarz 255

8.1.3 Existenz einer Tangentialebene 258

8.1.4 Das totale Differenzial 259

8.1.5 Die Kettenregel 262

8.1.6 Differenziation impliziter Funktionen 265

8.1.7 Partielle Ableitungen in derThermodynamik 268

8.2 Einfache Integrale 271

8.3 Bereichsintegrale 275

8.3.1 Definition des zweidimensionalen Bereichsintegrals 275

8.3.2 Berechnung des zweidimensionalen Bereichsintegrals 278

8.3.3 Allgemeine Bereichsintegrale 282

8.3.4 Transformationsformel 283

8.3.5 Berechnung von Volumina und Oberflächen 290

8.4 Kurvenintegrale 299

8.4.1 Definition und Berechnung 299

8.4.2 Wegunabhängigkeit des allgemeinen Kurvenintegrals 304

8.4.3 Vollständiges und unvollständiges Differenzial 308

8.4.4 Satz von Gauß im ℝ2 310

8.5 Oberflächenintegrale 313

8.6 Die Taylor-Formel 317

8.7 Extremwerte 320

8.7.1 Definitionen 320

8.7.2 Bestimmung von Extremwerten und Sattelpunkten 322

8.7.3 Bestimmung von Extremwerten unter Nebenbedingungen 325

9 Vektoranalysis und Tensorrechnung 333

9.1 Vektoranalysis 333

9.1.1 Vektor- und Skalarfelder 333

9.1.2 Der Gradient 335

9.1.3 Konservative Vektorfelder 338

9.1.4 Die Divergenz und der Satz von Gauß im ℝ3 340

9.1.5 Die Rotation und der Satz von Stokes 344

9.1.6 Rechenregeln 347

9.1.7 Krummlinige Koordinaten 349

9.2 Tensorrechnung 354

9.2.1 Tensoren zweiter Stufe 354

9.2.2 Tensoren höherer Stufe 358

10 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation 361

10.1 Fourier-Reihen 361

10.1.1 Reelle Fourier-Reihen 361

10.1.2 Komplexe Fourier-Reihen 368

10.1.3 Fourier-Reihe einer Funktion in mehreren Variablen 370

10.2 Fourier-Transformation 373

10.2.1 Definitionen 373

10.2.2 Beispiele 378

10.2.3 Eigenschaften 382

10.2.4 Anwendungen in der Chemie 392

10.3 Orthonormalsysteme 399

11 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 405

11.1 Beispiele und Definitionen 405

11.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung 412

11.2.1 Richtungsfeld, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 412

11.2.2 Trennung der Variablen 415

11.2.3 Lineare Differenzialgleichungen 417

11.2.4 Systeme homogener linearer Differenzialgleichungen 421

11.2.5 Systeme inhomogener linearer Differenzialgleichungen 431

11.2.6 Exakte Differenzialgleichungen 433

11.3 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung 439

11.3.1 Allgemeines über die Existenz von Lösungen 439

11.3.2 Die ungedämpfte freie Schwingung 443

11.3.3 Die gedämpfte freie Schwingung 449

11.3.4 Die erzwungene Schwingung 451

11.3.5 Systeme von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 455

11.4 Spezielle lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 461

11.4.1 Potenzreihenansatz 461

11.4.2 Die Legendre-Differenzialgleichung 464

11.4.3 Die Laguerre-Differenzialgleichung 470

11.4.4 Die Bessel-Differenzialgleichung 474

12 Partielle Differenzialgleichungen 479

12.1 Definition und Beispiele 479

12.2 Die Potenzialgleichung 483

12.2.1 Lösung durch Fourier-Transformation 483

12.2.2 Lösung durch Fourier-Reihenansatz 484

12.2.3 Lösung in Polarkoordinaten 487

12.3 DieWärmeleitungsgleichung 489

12.3.1 Lösung durch Fourier-Transformation 489

12.3.2 Lösung durch Separationsansatz 491

12.4 DieWellengleichung 494

12.4.1 Lösung durch Separationsansatz 494

12.4.2 Allgemeine Lösungsformel 497

12.4.3 Die schwingendeMembran 499

12.5 Die Schrödinger-Gleichung 504

12.5.1 Die stationäre Gleichung 504

12.5.2 Der harmonische Oszillator 505

12.5.3 DasWasserstoffatom 509

13 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik 519

13.1 Einführung 519

13.1.1 Quantenmechanische Begriffe 519

13.1.2 Axiomatik der Quantenmechanik 523

13.2 Hilbert-Räume 526

13.2.1 Sobolev-Räume 526

13.2.2 Vollständige Orthonormalsysteme 532

13.2.3 Lineare Operatoren 536

13.2.4 Dualräume und Dirac-Notation 537

13.3 Beschränkte lineare Operatoren 541

13.3.1 Definition und Beispiele 541

13.3.2 Projektoren 545

13.3.3 Symmetrische Operatoren 547

13.4 Unbeschränkte lineare Operatoren 555

13.4.1 Selbstadjungierte Operatoren 555

13.4.2 Die Heisenberg’sche Unschärferelation 560

13.4.3 Spektraldarstellung selbstadjungierter Operatoren 562

13.5 Zeitentwicklung quantenmechanischer Systeme 571

14 Wahrscheinlichkeitsrechnung 575

14.1 Einleitung 575

14.1.1 Aufgaben derWahrscheinlichkeitsrechnung 575

14.1.2 Der Ereignisraum 577

14.1.3 Zufallsgrößen 578

14.2 Diskrete Zufallsgrößen 580

14.2.1 Statistische Definition derWahrscheinlichkeit 580

14.2.2 Summe von Ereignissen 582

14.2.3 BedingteWahrscheinlichkeit 584

14.2.4 Produkt von Ereignissen 587

14.2.5 TotaleWahrscheinlichkeit 588

14.3 Kontinuierliche Zufallsgrößen 590

14.3.1 Wahrscheinlichkeitsdichte 590

14.3.2 Verteilungsfunktion 593

14.4 Kette von unabhängigen Versuchen 598

14.4.1 Herleitung der exakten Gleichungen 598

14.4.2 Diskussion der Funktion Pn(m) 601

14.4.3 Näherungsgesetze für große n 602

14.4.4 Markow’sche Ketten 607

14.5 Stochastische Prozesse 614

14.5.1 Definitionen 614

14.5.2 Der Poisson-Prozess 615

15 Fehler- und Ausgleichsrechnung 619

15.1 Zufällige und systematische Fehler 619

15.2 Mittelwert und Fehler der Einzelmessungen 620

15.2.1 Verteilung der Messwerte und Mittelwert 620

15.2.2 Mittlerer Fehler der Einzelmessungen 622

15.2.3 Wahrscheinlicher Fehler der Einzelmessung 623

15.2.4 Praktische Durchführung der Rechnungen 624

15.3 Fehlerfortpflanzung 626

15.3.1 Maximaler Fehler 626

15.3.2 Fortpflanzung des mittleren Fehlers 628

15.3.3 Mittlerer Fehler desMittelwertes 631

16 NumerischeMethoden 633

16.1 Lineare Gleichungssysteme 633

16.1.1 Gauß-Algorithmus 633

16.1.2 Thomas-Algorithmus 637

16.1.3 Iterative Lösungsmethoden 639

16.1.4 Ausgleichsrechnung 642

16.2 Nichtlineare Gleichungen 646

16.2.1 Newton-Verfahren im Eindimensionalen 646

16.2.2 Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen 647

16.3 Eigenwertprobleme 650

16.3.1 Potenzmethode 650

16.3.2 QR-Verfahren 653

16.4 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 656

16.4.1 Euler-Verfahren 656

16.4.2 Runge-Kutta-Verfahren 659

16.4.3 Steife Differenzialgleichungen 662

16.5 Softwarepakete 665

Antworten und Lösungen 667

Literaturverzeichnis 701

Weiterführende Literatur 703

Stichwortverzeichnis 707