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Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies, 2. Auflage

Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies, 2. Auflage

Thoralf Räsch

ISBN: 978-3-527-71259-5

Aug 2016

494 pages

Einleitung 23

Ein leicht verständlicher Einstieg in die Mathematik anhand von Beispielen 25

Törichte Annahmen über den Leser 26

Konventionen in diesem Buch 26

Wie dieses Buch aufgebaut ist 27

Teil I: Algebraische und analytische Grundlagen 27

Teil II: Differentiation – die Kunst des Ableitens 27

Teil III: Integration – eine Kunst für sich 27

Teil IV: Lineare Algebra 27

Teil V: Grundlagen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 28

Teil VI: Fortgeschrittene Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 28

Teil VII: Der Top-Ten-Teil 28

Anhang 28

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 28

Wie es weitergeht 29

Teil I Algebraische und analytische Grundlagen 31

Kapitel 1 Die Krabbelkiste der Mathematik 33

Logische Grundlagen 33

Wahre und falsche Aussagen 33

Aussagen verknüpfen 34

Quantoren in den Griff bekommen 35

Zahlen und Fakten 36

Die Zahlbereiche im Visier 36

Aufgaben mit Klammern richtig lösen 37

Das Summenzeichen 37

Bruchrechnung überleben 38

Potenzen und Wurzeln 39

Einfache (Un-)Gleichungen und Beträge auflösen 40

Gleichungen in Angriff nehmen 40

Ungleichungen in den Griff bekommen 44

Beträge ins Spiel bringen 46

Kapitel 2 Mengen, Induktionen, Prozente und Zinsen 49

Alles über Mengen 49

Mengen im Supermarkt? 49

Alles, nichts, oder? – Spezielle Mengen 51

Von Zahlen, Mengen und Intervallen 52

Mit Mengen einfach rechnen können 52

Venn-Diagramme 57

Vollständige Induktion bezwingt die Unendlichkeit 58

Prozentrechnung für den Alltag 61

Nur zwei Prozent Mieterhöhung 62

Das eigene Heim trotz Provision? 62

Die Bären kommen – Sinkende Aktienkurse 62

Bullen im Vormarsch – Steigende Kurse 62

Wie viele Bullen hätten die Bären gezähmt? 63

Immer auf die genaue Formulierung achten 63

Preissenkungsschnäppchen mitnehmen 63

Zinsrechnung zum Verstehen 64

Lohnender Zinsertrag 64

Höhe des Zinssatzes für Ihre Träume 64

Suche nach dem Startkapital 65

Taggenaue Zinsen 65

Kapitalwachstum: Zinseszins 65

Eine feste Anlage für zehn Jahre 66

Das sich verdoppelnde Kapital bei festem Zins 66

Das sich verdoppelnde Kapital bei fester Jahresanzahl 67

Kapitel 3 Elementare Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit 69

Grundlegendes zu Funktionen 69

Was sind eigentlich Funktionen? 69

Grafische Darstellung von Funktionen 71

Grundlegende Funktionen 72

Polynome 72

Rationale Funktionen 75

Exponentialfunktionen 76

Logarithmusfunktionen 77

Von Umkehr- und inversen Funktionen 77

Trigonometrische Funktionen 79

Bis an die Grenzen gehen 82

Drei Funktionen erklären den Grenzwert 82

Weiter zu den einseitigen Grenzwerten 83

Die formale Definition eines Grenzwerts – wie erwartet! 84

Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 84

Grenzwerte für x gegen unendlich 85

Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen 85

Einfache Grenzwerte auswerten 87

Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 87

Einsetzen und Auswerten 88

Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 88

Faktorisieren aus Leidenschaft 88

Konjugierte Multiplikation 89

Algebraische Hilfe – Einfache Umformungen 89

Machen Sie eine Pause – mit einem Grenzwert-Sandwich 90

Grenzwerte bei unendlich auswerten 91

Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 92

Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 93

Teil II Differentiation – die Kunst des Ableitens 95

Kapitel 4 Idee und Regeln des Ableitens – was sein muss, muss sein 97

Erste Schritte des Ableitens 97

Steigungen gesucht! 97

Steigung von Geraden 99

Steigung von Parabeln 100

Der Differenzenquotient 101

Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 106

Grundlegende Regeln der Differentiation 107

Die Konstantenregel 108

Die Potenzregel 108

Die Koeffizientenregel 108

Die Summenregel – und die kennen Sie schon 109

Trigonometrische Funktionen differenzieren 109

Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 109

Differentiationsregeln für Profis – Wir sind die Champs! 110

Die Produktregel 110

Die Quotientenregel 111

Die Kettenregel 111

Implizite Differentiation 114

Logarithmische Differentiation 116

Differentiation von Umkehrfunktionen 116

Keine Angst vor höheren Ableitungen 118

Kapitel 5 Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 121

Ein Ausflug mit der Analysisgruppe 121

Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen 121

Konvexität und Wendepunkte 122

Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum 123

Ein atemberaubender Ausblick: Das globale Maximum 123

Autopanne: Auf dem Scheitelpunkt hängen geblieben 123

Von nun an geht's bergab! 123

Ihr mathematisches Reisetagebuch 124

Lokale Extremwerte finden 125

Die kritischen Werte suchen 125

Der Test mit der ersten Ableitung – wachsend oder fallend? 126

Der Test mit der zweiten Ableitung – Krümmungsverhalten! 128

Globale Extremwerte für ein abgeschlossenes Intervall finden 129

Die globalen Extremwerte über den gesamten Definitionsbereich einer Funktion finden 131

Konvexität und Wendepunkte bestimmen 133

Der Zwischenwertsatz – Es geht nichts verloren 138

Der Mittelwertsatz – Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 139

Das nützliche Taylerpolynom 141

Die Regel von l’Hospital 144

Nicht akzeptable Formen in Form bringen 146

Drei weitere nicht akzeptable Formen 146

Kapitel 6 Von Folgen und Reihen 149

Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 149

Folgen aneinanderreihen 149

Reihen summieren 152

Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 155

Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 155

Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 156

Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz 158

Quotienten- und Wurzelkriterium 161

Alternierende Reihen 164

Absolute oder normale Konvergenz – das ist die Frage! 164

Das Kriterium mit den alternierenden Reihen 165

Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 168

Teil III Integration – Eine Kunst für sich 171

Kapitel 7 Integration: Die Rückwärts-Differentiation 173

Flächenberechnung – eine Einführung 173

Flächen mithilfe von Rechtecksummen annähern 174

Exakte Flächen mithilfe des bestimmten Integrals ermitteln 179

Stammfunktionen suchen – rückwärts Ableiten 180

Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 182

Die müßige Flächenfunktion 182

Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 185

Die erste Version des Hauptsatzes 185

Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 188

Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen 190

Stammfunktionen finden – Drei grundlegende Techniken 192

Umkehrregeln für Stammfunktionen 192

Raten und prüfen 193

Die Substitutionsmethode 194

Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 196

Kapitel 8 Integration: Praktische Tricks für Profis 199

Partielle Integration: Teile und herrsche! 199

Das richtige u auswählen 201

Partielle Integration: Beim zweiten wie beim ersten Mal 202

Alles im Kreis! 203

Integrale mit Sinus und Kosinus 204

Fall 1: Die Potenz von Sinus ist ungerade und positiv 204

Fall 2: Die Potenz von Kosinus ist ungerade und positiv 204

Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade und nicht negativ 205

Das ABC der Partialbrüche 205

Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 206

Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 207

Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren

in höherer Potenz 208

Bonusrunde – Der Koeffizientenvergleich 209

Grau ist alle Theorie – Praktische Integrale! 210

Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 210

Bogenlängen bestimmen 212

Drehoberflächen entstehen durch Drehen! 214

Teil IV Lineare Algebra 217

Kapitel 9 Grundlagen der Vektorräume 219

Vektoren erleben 219

Vektoren veranschaulichen 220

Mit Vektoren anschaulich rechnen 222

Mit Vektoren abstrakt rechnen 223

Betrag eines Vektors 225

Skalarprodukt von Vektoren 226

Schöne Vektorraumteilmengen = Untervektorräume 228

Vektoren und ihre Koordinaten 229

Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 233

Punkte im Raum 233

Parametergleichung für Geraden 234

Zweipunktegleichung für Geraden 235

Parametergleichung für Ebenen 236

Dreipunktegleichung für Ebenen 237

Koordinatengleichung für Ebenen 237

Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 237

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 239

Kollision während einer Flugshow in Las Vegas? 246

Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 249

Arten von linearen Gleichungssystemen 249

Homogene Gleichungssysteme 250

Inhomogene Gleichungssysteme 250

Überbestimmte Gleichungssysteme 251

Unterbestimmte Gleichungssysteme 251

Quadratische Gleichungssysteme 251

Nicht lösbare Gleichungssysteme 252

Grafische Lösungsansätze für lineare Gleichungssysteme 252

Einfache Geraden im zweidimensionalen Raum 252

Beliebige Geraden im zweidimensionalen Raum 253

Punkte im zweidimensionalen Raum 254

Ebenen im zweidimensionalen Raum 254

Der dreidimensionale Raum 254

Die vierte Dimension 255

Was sind eigentlich Matrizen? 256

Rechnen mit Matrizen 257

Matrizen in Produktionsprozessen der Praxis 259

Transponieren und Invertieren 260

Matrizen und lineare Gleichungssysteme 262

Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 263

Der Rang von Matrizen 267

Matrizen invertieren in der Praxis 268

Kriterien für die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen 269

Matrizen und lineare Abbildungen 270

Was sind lineare Abbildungen? 271

Matrizen als lineare Abbildungen 272

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Theorie 272

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Praxis 273

Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen 275

Kapitel 11 Matrizen – Das Finale! 277

Matrizen und ihre Determinanten 277

Determinanten von (2 × 2)-Matrizen 277

Determinanten von (3 × 3)-Matrizen 278

Determinanten von allgemeinen Matrizen 278

Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 281

Die Cramersche Regel 282

Berechnung der Inversen mittels der Adjunktenformel 284

Flächen und Volumina mittels Determinanten 285

Kreuzprodukt von Vektoren 287

Basistransformation 288

Auf den Maßstab kommt es an! 289

Geben Sie mir Ihre Koordinaten! 290

Matrixdarstellung bezüglich verschiedener Basen 291

Basistransformationsmatrizen 293

Überzeugende Diagramme 294

Eigenwerte und Eigenvektoren 296

Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren? 296

Eigenwerte einer Matrix berechnen 297

Eigenvektoren einer Matrix berechnen 298

Eigenräume finden und analysieren 299

Matrizen diagonalisieren 300

Drehungen und Spiegelungen 304

Drehungen in der Ebene 304

Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 307

Spiegelungen in der Ebene 307

Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 309

Drehungen im dreidimensionalen Raum 311

Kapitel 12 Nicht reell, aber real: Komplexe Zahlen 315

Was sind komplexe Zahlen? 315

Komplexe Rechenoperationen 317

Komplexe quadratische Gleichungen 319

Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 321

Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 322

Anwendungen komplexer Zahlen 324

Teil V Grundlagen der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung 327

Kapitel 13 Das Handwerkszeug des Statistikers 329

Die Grundgesamtheit 329

Die Stichprobe 330

Die Zufallsstichprobe 331

Daten 331

Statistik 332

Das arithmetische Mittel – der Mittelwert 332

Der Median 333

Die Standardabweichung 333

Perzentil vs. Quantil 334

Der Standardwert 334

Die Normalverteilung 335

Schätzwerte 336

Der Zentrale Grenzwertsatz 336

Das Gesetz der großen Zahlen 337

Das Konfidenzintervall 338

Korrelation und Kausalzusammenhang 339

Kapitel 14 Von Mittelwerten, Quantilen und vertrauenswürdigen Zusammenhängen 341

Daten mit statistischen Größen beschreiben 341

Qualitative Daten beschreiben 342

Quantitative Daten beschreiben 345

Lagemaße 345

Berechnen von Variationen 349

Mit Perzentilen die relative Position ermitteln 354

Die Suche nach dem Zusammenhang: Korrelationen und ihre Koeffizienten 358

Streudiagramme erstellen 359

Interpretation eines Streudiagramms 359

Die Beziehung zwischen zwei quantitativen Variablen quantifizieren 360

Kapitel 15 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 363

Arten der Wahrscheinlichkeit 363

Wahrscheinlichkeitsnotation 363

Totale Wahrscheinlichkeit 365

Wahrscheinlichkeit der Vereinigung 365

Wahrscheinlichkeiten des Durchschnitts 366

Komplementäre Wahrscheinlichkeit 366

Bedingte Wahrscheinlichkeit 366

Wahrscheinlichkeitsregeln verstehen und anwenden 367

Die Komplementärregel 368

Die Multiplikationsregel 369

Die Additionsregel 370

Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse 371

Die Unabhängigkeit zweier Ereignisse anhand der Definition prüfen 371

Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse nutzen 372

Einander ausschließende Ereignisse berücksichtigen 373

Einander ausschließende Ereignisse erkennen 373

Die Additionsregel mit einander ausschließenden Ereignissen vereinfachen 374

Unabhängige und einander ausschließende Ereignisse unterscheiden 375

Ein Vergleich von unabhängig und einander ausschließend 375

Unabhängigkeit beziehungsweise einander Ausschließen in einem Kartenspiel prüfen 376

Nützliche Zählregeln und Kombinatorik 377

Urnen und Kugeln 377

Ziehung mit Berücksichtigung der Reihenfolge 378

Ziehung ohne Berücksichtigung der Reihenfolge 379

Abschließende Betrachtungen 379

Teil VI Fortgeschrittene Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 383

Kapitel 16 Wahrscheinlichkeiten darstellen: Venn-Diagramme und der Satz von Bayes 385

Wahrscheinlichkeiten mit Venn-Diagrammen darstellen 385

Mit Venn-Diagrammen Wahrscheinlichkeiten ermitteln 386

Beziehungen mit Venn-Diagrammen ordnen und darstellen 387

Umwandlungsregeln für Mengen in Venn-Diagrammen 388

Die Grenzen von Venn-Diagrammen 389

Wahrscheinlichkeiten in komplexen Aufgaben mit Venn-Diagrammen ermitteln 390

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen darstellen 393

Mehrstufige Ergebnisse mit einem Baumdiagramm darstellen 394

Bedingte Wahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm darstellen 396

Die Grenzen der Baumdiagramme 399

Mit einem Baumdiagramm Wahrscheinlichkeiten für komplexe Ereignisse ermitteln 399

Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes 401

Eine totale Wahrscheinlichkeit mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen 402

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit mit dem Satz von Bayes berechnen 406

Kapitel 17 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen 413

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen 413

Was ist eine Zufallsvariable? 413

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung finden und anwenden 415

Die Verteilungsfunktion ermitteln und anwenden 420

Die Verteilungsfunktion interpretieren 421

Die Verteilungsfunktion grafisch darstellen 421

Wahrscheinlichkeiten mit der Verteilungsfunktion ermitteln 423

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion aus der Verteilungsfunktion herleiten 424

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen 426

Den Erwartungswert von X berechnen 426

Die Varianz von X berechnen 428

Die Standardabweichung von X berechnen 429

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen 430

Kapitel 18 Die wunderbare Welt der Wahrscheinlichkeitsverteilungen 431

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 431

Diskrete Gleichverteilung 431

Binomialverteilung 433

Poissonverteilung 438

Geometrische Verteilung 443

Hypergeometrische Verteilung 445

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen 450

Stetige Gleichverteilung 451

Normalverteilung 452

Exponentialverteilung 461

Teil VII Der Top-Ten-Teil 465

Kapitel 19 Zehn häufig gemachte Fehler im (Stochastik-) Alltag 467

Vergessen, dass eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegen muss 467

Kleine Wahrscheinlichkeiten fehlinterpretieren 467

Wahrscheinlichkeiten für kurzfristige Vorhersagen verwenden 468

Nicht glauben, dass 10-22-34-42-47-48 gewinnen kann 468

An Glücksträhnen beim Würfeln glauben 468

Jeder Situation eine 50-50-Chance einräumen 469

Bedingte Wahrscheinlichkeiten verwechseln 469

Die falsche Wahrscheinlichkeitsverteilung anwenden 469

Die Voraussetzungen für ein Wahrscheinlichkeitsmodell nicht richtig prüfen 470

Unabhängigkeit von Ereignissen annehmen 470

Kapitel 20 Zehn Ratschläge für einen erfolgreichen Abschluss Ihres Mathekurses 471

Der Kurs beginnt pünktlich in der ersten Vorlesung 471

Besuchen Sie die Vorlesungen und Übungen 471

Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften 472

Schauen Sie auch in die Bücher 472

Lösen Sie die wöchentlichen Übungsaufgaben 472

Gruppenarbeit nicht ausnutzen 472

Lernen Sie nicht nur für die Klausur 473

Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher 473

Aus Fehlern lernen 473

Der eigene Kurs ist immer der wichtigste! 474

Anhang 475

Stichwortverzeichnis 485