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Mathematische Modellbildung und Simulation: Eine Einführung für Wissenschaftler, Ingenieure und Ökonomen

Mathematische Modellbildung und Simulation: Eine Einführung für Wissenschaftler, Ingenieure und Ökonomen

Marco Günther, Kai Velten

ISBN: 978-3-527-68649-0

Jan 2015

388 pages

Select type: E-Book

$42.99

Description

Diese für Studierende ebenso wie für Wissenschaftler, Ingenieure und Praktiker geeignete Einführung in mathematische Modellbildung und Simulation setzt nur einfache Grundkenntnisse in Analysis und linearer Algebra voraus – alle weiteren Konzepte werden im Buch entwickelt. Die Leserinnen und Leser lernen anhand detailliert besprochener Beispiele aus unterschiedlichsten Bereichen (Biologie, Ökologie, Ökonomie, Medizin, Landwirtschaft, Chemie, Maschinenbau, Elektrotechnik, Prozesstechnik usw.), sich kritisch mit mathematischen Modellen auseinanderzusetzen und anspruchsvolle mathematische Modelle selbst zu formulieren und zu implementieren.

Das Themenspektrum reicht von statistischen Modellen bis zur Mehrphasen-Strömungsdynamik in 3D. Für alle im Buch besprochenen Modellklassen wird kostenlose Open-Source-Software zur Verfügung gestellt. Grundlage ist das eigens für dieses Buch entwickelte Betriebssystem Gm.Linux („Geisenheim-Linux“), das ohne Installationsaufwand z.B. auch auf Windows-Rechnern läuft. Ein Referenzkartensystem zu Gm.Linux mit einfachen Schritt-für-Schritt-Anleitungen ermöglicht es, auch komplexe statistische Berechnungen oder 3D-Strömungssimulationen in kurzer Zeit zu realisieren. Alle im Buch beschriebenen Verfahren beziehen sich auf Gm.Linux 2.0 (und die darin fixierten Versionen aller Anwendungsprogramme) und sind daher unabhängig von Softwareaktualisierungen langfristig verwendbar.

Aus dem Inhalt:

• Grundlagen mathematischer Modellbildung und Simulation

• Phänomenologische und mechanistische Modelle

• Statistik, Stochastik und Diff erentialgleichungen (ODE‘s und PDE‘s)

• Open Source Software: OpenFOAM, R, Maxima, Six Sigma, Versuchsplanung,

Prozessoptimierung, Klassifi kation, PCA, MCA, Datenbanken, Big Data, Random-Forest, Entscheidungsbäume, Gm.HYDRA usw.

• Betriebssystem Gm.Linux

• Gastbeiträge aus Industrie und Forschung

Vorwort XIII

1 Prinzipien der mathematischen Modellierung 1

1.1 Eine komplexeWelt braucht Modelle 2

1.2 Systeme, Modelle, Simulationen 4

1.2.1 Der teleologische Aspekt 5

1.2.2 Das MoSim-Schema 5

1.2.3 Simulation 8

1.2.4 System 8

1.2.5 Konzeptionelle und physikalische Modelle 9

1.3 Mathematik als natürliche Modellsprache 10

1.3.1 Input-Output-Systeme 10

1.3.2 Allgemeine Form experimenteller Daten 11

1.3.3 Bedeutung numerischer Daten 12

1.4 Definition mathematischer Modelle 13

1.5 Beispiele und weitere Definitionen 15

1.5.1 Zustandsvariablen und Systemparameter 17

1.5.2 Verwendung von Computeralgebrasystemen 20

1.5.3 Strategien für das Aufstellen einfacher Modelle 21

1.5.4 Lineare Programmierung 33

1.6 Noch mehr Definitionen 35

1.6.1 Phänomenologische und mechanistische Modelle 35

1.6.2 Stationäre und instationäre Modelle 39

1.6.3 Verteilte und aggregierte Modelle 40

1.7 Wenn alles wie ein Nagel aussieht ... 41

2 Phänomenologische Modelle 43

2.1 Elementare Statistik 44

2.1.1 Deskriptive Statistik 44

2.1.1.1 Einfache Anwendungen von Calc undR 45

2.1.1.2 Anwendung des R-Commanders 49

2.1.2 Zufallsprozesse undWahrscheinlichkeit 50

2.1.2.1 Zufallsvariablen 51

2.1.2.2 Wahrscheinlichkeit 51

2.1.2.3 Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungen 53

2.1.2.4 Die Gleichverteilung 55

2.1.2.5 Die Normalverteilung 55

2.1.2.6 Erwartungswert und Standardabweichung 57

2.1.2.7 Mehr zu Verteilungen 58

2.1.3 Induktive Statistik 59

2.1.3.1 Ist der Ertrag von Saatgut A wirklich höher? 59

2.1.3.2 Aufbau eines Hypothesentests 60

2.1.3.3 Der t-Test 60

2.1.3.4 Der Shapiro-Test 62

2.1.3.5 Test der Regressionskoeffizienten 63

2.1.3.6 Varianzanalyse 63

2.1.3.7 Der Tukey-Test 67

2.2 Lineare Regression 68

2.2.1 Das lineare Regressionsproblem 68

2.2.2 Lösung mittels Software 70

2.2.3 Das Bestimmtheitsmaß 71

2.2.4 Interpretation der Regressionskoeffizienten 73

2.2.5 LinRegEx1.r verstehen 74

2.2.6 Nichtlineare lineare Regression 75

2.3 Multiple lineare Regression 78

2.3.1 Das multilineare Regressionsproblem 78

2.3.2 Lösung mittels Software 80

2.3.3 Kreuzvalidierungsverfahren 82

2.4 Nichtlineare Regression 85

2.4.1 Das nichtlineare Regressionsproblem 85

2.4.2 Lösung mit Software 85

2.4.3 Multiple nichtlineare Regression 88

2.4.4 Implizite und vektorwertige Probleme 91

2.4.5 Regressions-Splines 91

2.5 Statistische Versuchsplanung 94

2.5.1 Vollständig randomisierter Versuchsplan 95

2.5.2 Randomisierte Blockpläne 98

2.5.3 Lateinische Quadrate und erweiterte Pläne 99

2.5.4 Faktorielle Versuchspläne 101

2.5.5 D-optimale Versuchsplanung 104

2.5.6 Optimaler Stichprobenumfang 107

3 Mechanistische Modelle I: ODEs 109

3.1 Besondere Bedeutung von Differentialgleichungen 109

3.2 Einführende Beispiele 110

3.2.1 Archäologie-Analogie 110

3.2.2 Körpertemperatur 112

3.2.3 Wecker 114

3.3 Aufstellen von ODE-Modellen 122

3.3.1 ODE-Modell zum Körpertemperaturbeispiel 123

3.3.2 ODE-Modell zumWeckerbeispiel 125

3.4 Etwas Theorie, die jeder kennen sollte 127

3.4.1 Grundlegende Konzepte 127

3.4.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung 130

3.4.3 Autonome, implizite und explizite gewöhnliche Differentialgleichungen 131

3.4.4 Anfangswertproblem 131

3.4.5 Randwertprobleme 132

3.4.6 Beispiel zur Nichteindeutigkeit 134

3.4.7 Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen 135

3.4.8 Linear im Vergleich zu nichtlinear 137

3.4.9 Analytische Lösungsmethoden 138

3.5 Numerische Lösungen 140

3.5.1 Algorithmen 141

3.5.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit Maxima lösen 147

3.5.3 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit R lösen 151

3.6 Beispiele für ODE-Modelle 161

3.6.1 Weingärung 161

3.6.2 Pflanzenwachstum 168

4 Mechanistische Modelle II: PDEs 173

4.1 Einführung 173

4.1.1 Begrenzte Anwendbarkeit von ODE-Modellen 173

4.1.2 Ein Überblick: eigenartige Tiere, Laute und Düfte 174

4.1.3 Zwei Probleme, die jeder lösen können sollte 175

4.2 DieWärmeleitungsgleichung 178

4.2.1 Fouriersches Gesetz 179

4.2.2 Energieerhaltung 179

4.2.3 Wärmeleitungsgleichung = fouriersches Gesetz + Energieerhaltung 181

4.2.4 Wärmeleitungsgleichung in mehreren Dimensionen 182

4.2.5 Anisotroper Fall 183

4.2.6 Verstehen der nichtdiagonalen Leitfähigkeiten 184

4.3 Etwas Theorie, die jeder kennen sollte 186

4.3.1 Partielle Differentialgleichungen 186

4.3.2 Anfangs- und Randbedingungen 191

4.3.3 Symmetrie und Dimensionalität 193

4.3.4 Stationarität und Rotationsbewegungen 199

4.4 Analytische Lösungen einer PDE 200

4.4.1 Problem 1 201

4.4.2 Trennung der Variablen 202

4.4.3 Eine spezielle Lösung zur Validierung 203

4.5 Numerische Lösungen einer PDE 204

4.6 Die Finite-Differenzen-Methode 205

4.6.1 Ableitungen durch Finite-Differenzen ersetzen 205

4.6.2 Formulierung eines Algorithmus 206

4.6.3 Implementierung in R 208

4.6.4 Fehler und Stabilitätsanalyse 209

4.6.5 Explizite und implizite Schemas 210

4.6.6 Berechnung eines elektrostatischen Potentials 211

4.6.7 Iterative Methoden für lineare Gleichungssysteme 212

4.6.8 Milliarden von Unbekannten 213

4.7 Die Finite-Elemente-Methode 214

4.7.1 Schwache Formulierung von PDEs 215

4.7.2 Approximation einer schwachen Formulierung 217

4.7.3 GeeigneteWahl von Basisfunktionen 218

4.7.4 Verallgemeinerung ins Mehrdimensionale 220

4.7.5 Zusammenfassung der wesentlichen Schritte 220

4.8 Die Finite-Volumen-Methode 223

4.8.1 Schwache Formulierung von Erhaltungsgleichungen 223

4.8.2 Diskretisierungsprozesse 224

4.8.3 Auswertung der Flüsse 226

4.8.4 Einfaches 1D-Finite-Volumen-Verfahren 227

4.8.5 Fehler und Stabilitätsanalyse 230

4.8.6 Anmerkungen zur Finite-Volumen-Methode 231

4.9 Software zum Lösen von PDEs 232

4.10 Eine Beispielsitzung zur numerischen Berechnung der Wärmeleitung 234

4.10.1 Geometrieerstellung 235

4.10.2 Gittergenerierung 240

4.10.3 Problemdefinition und Lösungsschritt 241

4.10.4 Postprocessing 243

4.11 Ein Blick hinter dieWärmeleitungsgleichung 246

4.11.1 Diffusion und Konvektion 246

4.11.2 Strömungen in porösen Medien 248

4.11.3 Imprägnierprozesse 250

4.11.4 Zweiphasenströmungen in porösen Medien 252

4.11.5 Retention und relative Permeabilität 253

4.11.6 Tropfbewässerung von Spargel 254

4.11.7 Mehrphasenströmung und Poroelastizität 255

4.11.8 Numerische Strömungsmechanik (CFD) 256

4.11.9 Navier-Stokes-Gleichungen 256

4.11.10 Gekoppelte Probleme 259

4.12 Eine Beispielsitzung zur numerischen Berechnung einer Einphasenströmung 260

4.12.1 Das rückwärts gewandte Stufenproblem 261

4.12.2 Preprocessing mit Salome und HelyxOS 262

4.12.3 Problemdefinition und Berechnung mit OpenFOAM 264

4.12.4 Postprocessing mit ParaView 265

4.13 Eine Beispielsitzung zur numerischen Berechnung einer Zweiphasenströmung 269

4.13.1 Problemstellung 269

4.13.2 Preprocessing mit Salome und HelyxOS 269

4.13.3 Problemdefinition und Berechnung 270

4.13.4 Postprocessing mit ParaView 271

5 Systemanalyse, Problemlösung und Prozessoptimierung in der Praxis 273

5.1 Big Data: Moderne Analyseverfahren für hochdimensionale Daten (Kai Velten, Rolf Reinicke) 274

5.1.1 Fragestellung 274

5.1.2 Künstlicher Datensatz 275

5.1.3 Einflussfaktoren und Interaktionen für z1 276

5.1.4 Einflussfaktoren und Interaktionen für z2 und z3 278

5.1.5 Dimensionsreduktion und Klassifikation 280

5.1.6 Folgerungen 284

Literatur 284

5.2 Crashkurs R 286

5.2.1 Download, Installation, Betriebsmodi, Pakete 286

5.2.2 Elementare Operationen mit Daten 292

5.2.3 Weitere wichtige R-Kommandos 297

5.2.4 Datenbanken 300

5.3 CrashkursMaxima 304

5.3.1 Download, Installation, Betriebsmodi, Pakete 304

5.3.2 Wichtigste Kommandos 305

5.4 Dokumentation und Präsentation mit Gm.HYDRA 307

5.4.1 Was ist Gm.HYDRA? 307

5.4.2 Leistungsmerkmale 308

5.4.3 Workflow 309

5.5 Statistische Prozesskontrolle, Projekt- und Qualitätsmanagement: SixSigma und Co. 310

5.5.1 DMAIC 310

5.5.2 Sigma-Scores und Prozessfähigkeitsindizes in der Getränkeabfüllung 311

5.6 Wissenschaftliche Systemanalyse und Modellentwicklung im Gartenbau (Kai Velten, Markus Kasnitz, Peter Braun) 316

5.6.1 Literate Programming und Reproducible Research im Gartenbau 316

5.6.2 Daten 317

5.6.3 Analysejournal 317

5.6.4 Langfristiges Modell 320

5.6.5 Kurzfristiges Modell 321

5.6.6 Folgerungen 323

Literatur 323

Anhang A Gm.Linux und die Buchsoftware 325

Anhang B Referenzkarten 327

B.1 Installation Gm.Linux 327

B.1.1 Systemvoraussetzungen, Passwort 327

B.1.2 Download der ISO-Datei 327

B.1.3 Nutzung als Live-Betriebssystem 327

B.1.4 Alternative 1: Installation auf USB-Stick 328

B.1.5 Alternative 2: Virtualisierte Installation 328

B.1.6 Alternative 3: Installation auf Desktoprechner 328

B.1.7 Alternative 4: Installation auf Server 328

B.2 Gm.HYDRA 329

B.2.1 Template 1: TeX und R 329

B.2.2 Template 2: Tex undMaxima 330

B.2.3 Template 3: Tex, Hyperlinks und Literaturdatenbank 332

B.2.4 Dokumente kompilieren 334

B.3 D-optimale Versuchspläne 336

B.3.1 Beispiel 336

B.3.2 Erstellung eines vollfaktoriellen Versuchsplans 336

B.3.3 Erstellung des D-optimalen Versuchsplans 337

B.4 Berechnung einer Temperaturverteilung 338

B.4.1 Beispiel 338

B.4.2 Geometrie erzeugen 339

B.4.3 Gitter erzeugen 339

B.4.4 Definition und Lösung des Problems 340

B.4.5 Postprocessing 340

B.4.6 Prüfung der Ergebnisse 340

B.5 Visualisierung mit ParaView 341

B.5.1 Beispiel: „Rohr mit Verzweigung“ 341

B.5.2 Startprozedur 341

B.5.3 Bedienung Graphikfenster 341

B.5.4 Einstellung Farben, Lichteffekte 342

B.5.5 Strömungsraum mit Drahtgitterdarstellung 342

B.5.6 Stromlinien 342

B.5.7 „Dicke“ Stromlinien 342

B.5.8 Anzeige von Strömungspfeilen 343

B.5.9 Strömungsrichtungen nur im Inneren der Geometrie 343

B.5.10 Ausgabe von Bildern in hoher Qualität 344

B.5.11 Druck ggf. korrigieren 344

B.6 Berechnung einer Einphasenströmung 344

B.6.1 Beispiel 344

B.6.2 Geometrie erzeugen 345

B.6.3 Gitter erzeugen 345

B.6.4 Definition und Lösung des Problems 345

B.6.5 Postprocessing 346

B.6.6 Prüfung der Ergebnisse 346

B.7 Berechnung einer Zweiphasenströmung 346

B.7.1 Beispiel 346

B.7.2 Geometrie erzeugen 347

B.7.3 Gitter erzeugen 347

B.7.4 Definition und Lösung des Problems 348

B.7.5 Postprocessing 348

B.7.6 Prüfung der Ergebnisse 348

B.8 Virtualisierung 349

B.8.1 Voraussetzungen 349

B.8.2 Live-Betriebssystem 349

B.8.3 Betriebssystem installieren und ausführen 349

B.8.4 Dateiaustausch mit virtuellem System 350

B.8.5 Alternativen 351

Literaturverzeichnis 353

Stichwortverzeichnis 361