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Wirtschaftsmathematik für Dummies, 2nd Edition

Wirtschaftsmathematik für Dummies, 2nd Edition

Christoph Mayer, Sören Jensen, Suleika Bort

ISBN: 978-3-527-80097-1

Aug 2016

489 pages

Select type: E-Book

$17.99

Einleitung 25

Über dieses Buch 25

Konventionen in diesem Buch 25

Törichte Annahmen über den Leser 26

Wie dieses Buch aufgebaut ist 26

Teil I: Auf die Plätze … Einfache Algebra 26

Teil II: Analysis 26

Teil III: Ordnung schaffen in der Zahlenwelt – Mit Matrizen und Gleichungssystemen 27

Teil IV: Wahrscheinlichkeitsrechnung 27

Teil V: Finanzmathematik 27

Teil VI: Der Top-Ten-Teil 27

Zusatzmaterialien im Internet 27

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 28

Wie es weitergeht 28

Teil I Auf die Plätze …Einfache Algebra 29

Kapitel 1 Am Anfang stand die Algebra 31

Mit Vorzeichen rechnen 31

Zahlen mit Vorzeichen addieren und subtrahieren 31

Zahlen mit Vorzeichen multiplizieren und dividieren 32

Algebraische Eigenschaften – eine Skizze 32

Bewahren Sie Ordnung – mit dem Kommutativgesetz 32

Harmonie in der Gruppe – mit dem Assoziativgesetz 33

Das Distributivgesetz – Werte verteilen 33

Was Sie über Brüche wissen sollten 34

Ein paar schnelle Regeln 35

Brüche multiplizieren 35

Brüche dividieren 35

Brüche addieren 36

Brüche subtrahieren 37

Prozent berechnen 37

Steuern und Rabatte beurteilen 38

Potenzen machen stark 39

Zu den Wurzeln der Wurzeln 40

Logarithmen … wirklich keine Hexerei 41

Mehr als einen Term ausmultiplizieren 41

Binome ausmultiplizieren 42

Polynom mal Polynom 43

Besonders verteilt: Manchmal geht es schneller 43

Kapitel 2 Gleichungen lösen 45

Ausgeglichene Gleichungen 45

Lineare Gleichungen lösen 45

Quadratische Gleichungen lösen 47

Faktorisieren von Trinomen mit der Quadratformel 48

Faktorisieren von Trinomen mit nur einer Lösung 49

Bleiben Sie bei Gleichungen mit Brüchen rational! 50

Rationale Gleichungen mit Proportionen lösen 50

Machen Sie sich frei von Wurzeln! 54

Beide Seiten einer Wurzelgleichung quadrieren 55

Zwei Wurzeln ausgleichen 56

Exponentialgleichungen lösen 57

Logarithmische Gleichungen lösen 59

Log gleich Log setzen 59

Logarithmische Gleichungen in Exponentialgleichungen umformen 61

Teil II Analysis 63

Kapitel 3 Ein Leben mit Listen: Folgen und Reihen 65

Die Terminologie der Folgen 65

Die Notation der Folge 66

Die Fakultät in Folgen 66

Alternierende Folgenmuster 67

Muster in Folgen 68

Arithmetische und geometrische Folgen 71

Gemeinsame Grundlagen: Arithmetische Folgen 71

Der multiplikative Ansatz: Geometrische Folgen 73

Rekursiv definierte Funktionen 74

Und jetzt zu den Reihen 75

Die Notation für die Summenbildung 76

Arithmetische Summenbildung 76

Geometrische Summenbildung 77

Summen von Folgen in der Praxis 80

Inventur der Lebensmittel 80

Lohnverhandlungen 81

Besondere Formeln für Reihen 81

Kapitel 4 Fantastische Funktionen 83

Wie sieht eine Funktion aus? 83

Was es mit Definitions- und Wertebereich auf sich hat 85

Den Definitionsbereich einer Funktion bestimmen 86

Den Wertebereich einer Funktion beschreiben 87

Geradeheraus – Geraden in der Ebene 88

Die Steigungen treffen 89

Die Steigung einer Funktion 90

Polynome 91

Die Standard-Polynomform 92

Vom Verstand geleitet: Rationale Funktionen 93

Rationale Funktionen erkunden 93

Definitionsbereiche erweitern 93

Exponentialfunktionen 94

Logarithmische Funktionen 95

Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen 96

Zusammengesetzte Funktionen 97

Wachstumsfunktionen 98

Lineares Wachstum 98

Exponentielles Wachstum 99

Beschränktes Wachstum 100

Logistisches Wachstum 102

Kapitel 5 Auch Funktionen haben Eigenschaften 105

Schnittpunkte mit den Achsen 105

Die y-Schnittpunkte finden 105

Die x-Schnittpunkte 106

Was ist der Grenzwert? 106

Die formale Definition eines Grenzwerts 107

Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 108

Grenzwerte an der Unendlichkeit – haben Sie gute Schuhe an? 109

Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen 109

Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand 110

Die Ausnahme für ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht 110

Die überflüssige Mathematik der Stetigkeit aussortieren 112

Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 112

Grenzwerte bei unendlich auswerten 113

Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 114

Grenzwerte bei unendlich mit einem Taschenrechner lösen 115

Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 115

Kapitel 6 Die Differentialrechnung 117

Die Ableitung einer Funktion 118

Der Differenzquotient 120

Durchschnittliche Änderungsrate und unmittelbare Änderungsrate 126

Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 127

Grundlegende Regeln der Differentiation 127

Die Konstantenregel 128

Die Potenzregel 128

Die Regeln zu dem Vielfachen von Konstanten 129

Die Summenregel – und die kennen Sie schon 130

Die Differenzregel – macht kaum einen Unterschied 130

Trigonometrische Funktionen differenzieren 130

Exponentialfunktionen differenzieren 131

Logarithmische Funktionen differenzieren 132

Differentiationsregeln für Profis – Wir sind die Champs! 132

Die Produktregel 132

Die Quotientenregel 133

Die Kettenregel 134

Ableitungen höherer Ordnung skalieren 139

Ein Ausflug mit der Analysisgruppe 140

Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen 141

Uns fällt keine Reisemetapher für diesen Abschnitt ein: Krümmung und Wendepunkte 141

Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum 142

Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum 142

Autopanne: Auf dem Scheitelpunkt hängen geblieben 142

Von nun an ging's bergab! 142

Ihr Reisetagebuch 143

Lokale Extremwerte finden 143

Die kritischen Werte herausleiern 143

Der Test der ersten Ableitung 145

Der Test der zweiten Ableitung – Tests, Tests, Tests! 147

Absolute Extremwerte für ein geschlossenes Intervall finden 150

Die absoluten Extremwerte über den gesamten Definitionsbereich

einer Funktion finden 153

Krümmung und Wendepunkte bestimmen 154

Tangenten und Normale: Auf die Spitze getrieben 156

Die Aufgabenstellung mit der Tangente 157

Das Normallinienproblem 160

Aufgabenstellungen aus der Geschäftswelt und aus der Wirtschaft 163

Verwaltung von Grenzkosten in der Wirtschaft 163

Grenzkosten 165

Grenzertrag 165

Grenzgewinn 166

Kapitel 7 Mehrdimensionale Funktionen 169

Funktionen mit mehreren Variablen 169

Zweidimensionale Funktionen darstellen 170

3-D-Darstellung 170

Höhenliniendarstellung 171

Partielle Differentiale 172

Ableitungen höherer Ordnung 173

Die Hessematrix bestimmen 174

Steigungen darstellen und berechnen 175

Partielle Ableitung nach x1 erster Ordnung 176

Partielle Ableitung nach x1 zweiter Ordnung 177

Kreuzableitung nach x1 und x2 177

Totales Differential 179

Konvexität, Konkavität 179

Extrema bestimmen 181

Kapitel 8 Integration: Die Rückwärts-Differentiation 185

Stammfunktionen suchen – die umgekehrte Differentiation 185

Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 187

Die müßige Flächenfunktion 187

Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Analysis 190

Der Hauptsatz der Analysis: Teil2 193

Stammfunktionen finden: Vier grundlegende Techniken 195

Umkehrregeln für Stammfunktionen 195

Schätzen und Prüfen 197

Die Substitutionsmethode 199

Teilweise Integration: Teilen und Herrschen! 204

Teil III Ordnung schaffen in der Zahlenwelt – Mit Matrizen und Gleichungssystemen 211

Kapitel 9 Mit Matrizen durch die Mathe flitzen 213

Die verschiedenen Matrizentypen 213

Zeilen- und Spaltenmatrizen 214

Quadratische Matrizen 215

Null-Matrizen 215

Einheitsmatrizen 215

Einfache Operationen mit Matrizen durchführen 216

Matrizen addieren und subtrahieren 216

Matrizen mit Skalaren multiplizieren 217

Zwei Matrizen multiplizieren 217

Matrizen und Operationen anwenden 220

Die innerbetriebliche Materialverflechtung 223

Elementare Zeilenumformungen definieren 228

Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme lösen 231

Die Standardform linearer Systeme und ihre möglichen Lösungen 231

Grafische Lösung von linearen Systemen 232

Den Schnittpunkt bestimmen 232

Zweimal dieselbe Gerade 233

Parallele Geraden 234

Systeme zweier linearer Gleichungen durch Addition eliminieren 235

Einen Eliminationspunkt finden 235

Lösungen für parallele und koexistente Geraden 237

Systeme mit zwei linearen Gleichungen durch Einsetzen lösen 237

Variablen einsetzen – leicht gemacht 238

Parallele und koexistente Geraden erkennen 239

Mit der Cramer'schen Regel unhandliche Brüche bekämpfen 240

Das lineare Gleichungssystem für Cramer vorbereiten 241

Anwendung der Cramer'schen Regel auf ein lineares System 242

Lineare Systeme auf drei lineare Gleichungen steigern 242

Systeme mit drei Gleichungen mithilfe der Algebra lösen 243

Eine verallgemeinerte Lösung für Linearkombinationen einrichten 244

Wir steigern die Gleichungen noch weiter 246

Lineare Systeme in der Praxis 248

Mathe an der Frittenbude 248

Innerbetriebliche Leistungen verrechnen 249

Mithilfe von Systemen Brüche zerlegen 251

Lineare Systeme über die Matrizenschreibweise lösen 253

Kapitel 11 Matrizen – noch mehr Möglichkeiten 257

Die Determinante bestimmen 257

Klein geht's los – mit nur vier Zahlen 257

Die Steigerung folgt sogleich 258

Aber Sie können noch viel mehr – grenzenlose Größen 258

Inverse Matrizen finden 260

Additive Inverse bestimmen 261

Multiplikative Inverse bestimmen 261

Matrizen mithilfe von Inversen dividieren 266

Die erweiterten Matrizenfunktionen auf lineare Gleichungssysteme anwenden 267

Mit der Determinante die Lösbarkeit eines Gleichungssystems bestimmen 267

Mit der Cramer'schen Regel ein Gleichungssystem lösen 268

Mit der Inversen ein Gleichungssystem lösen 270

Das Leontief-Modell kennenlernen 272

Teil IV Lineare Algebra 277

Kapitel 12 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit 279

Ein Überblick über die Mengennotation 279

Ergebnisse festhalten: Stichprobenräume 279

Teilmengen von Stichprobenräumen festhalten: Ereignisse 281

Die leere Menge 281

Mengenoperationen: Vereinigung, Schnittmenge und Komplement 283

Arten der Wahrscheinlichkeit 284

Wahrscheinlichkeitsnotation 284

Marginale Wahrscheinlichkeit 285

Wahrscheinlichkeit der Vereinigung 286

Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge 286

Komplementäre Wahrscheinlichkeit 286

Bedingte Wahrscheinlichkeit 287

Wahrscheinlichkeitsregeln verstehen und anwenden 289

Die Komplementärregel 290

Die Multiplikationsregel 291

Die Additionsregel 292

Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse 292

Die Unabhängigkeit zweier Ereignisse anhand der Definition prüfen 293

Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse nutzen 294

Einander ausschließende Ereignisse berücksichtigen 294

Einander ausschließende Ereignisse erkennen 295

Die Additionsregel mit einander ausschließenden Ereignissen vereinfachen 296

Unabhängige und einander ausschließende Ereignisse unterscheiden 296

Ein Vergleich von Unabhängigkeit und Ausschließlichkeit 296

Die Unabhängigkeit oder Ausschließlichkeit in einem Kartenspiel mit 52 Karten prüfen 297

Kapitel 13 Wahrscheinlichkeit visualisieren: Venn-Diagramme, Baumdiagramme und das Bayes-Theorem 299

Wahrscheinlichkeiten mit Venn-Diagrammen visualisieren 300

Mit Venn-Diagrammen nicht gegebene Wahrscheinlichkeiten ermitteln 300

Beziehungen mit Venn-Diagrammen ordnen und visualisieren 301

Umwandlungsregeln für Mengen in Venn-Diagrammen 303

Die Grenzen von Venn-Diagrammen 304

Wahrscheinlichkeiten für komplexe Aufgaben mit

Venn-Diagrammen ermitteln 305

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen darstellen 307

Mehrstufige Ereignisse mit einem Baumdiagramm visualisieren 308

Bedingte Wahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm visualisieren 310

Die Grenzen der Baumdiagramme 313

Mit einem Baumdiagramm Wahrscheinlichkeiten für komplexe Ereignisse ermitteln 314

Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit und das Bayes-Theorem 316

Eine marginale Wahrscheinlichkeit mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen 316

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit mit dem Bayes-Theorem berechnen 320

Kapitel 14 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 325

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen 325

Was ist eine Zufallsvariable? 325

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung finden und anwenden 327

Die kumulative Verteilungsfunktion ermitteln und anwenden 332

Die kumulative Verteilungsfunktion interpretieren 333

Die kumulative Verteilungsfunktion grafisch darstellen 333

Wahrscheinlichkeiten mit der kumulativen Verteilungsfunktion ermitteln 334

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion aus der kumulativen Verteilungsfunktion ableiten 336

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen 338

Den Erwartungswert von X berechnen 338

Die Varianz von X berechnen 340

Die Standardabweichung von X berechnen 341

Kapitel 15 Die Normalverteilung 343

Die Grundlagen der Normalverteilung 343

Quantile und Perzentile 344

Form, Mittelpunkt und Spreizung der Normalverteilung 345

Die Standardnormalverteilung (Z-Verteilung) 346

Wahrscheinlichkeiten für eine Normalverteilung berechnen und anwenden 349

Den Graphen zeichnen 350

Eine Aufgabe in die Wahrscheinlichkeitsnotation übersetzen 350

Die Z-Formel anwenden 351

Mit der Z-Tabelle die Wahrscheinlichkeit ermitteln 352

Aufgaben zur Normalverteilung mit Rückwärtsrechnung 357

Analyse einer Aufgabe zur Normalverteilung mit Rückwärtsrechnung 358

Die Z-Tabelle rückwärts lesen 360

Die Z-Formel nach X auflösen, um X-Einheiten zu berechnen 362

Kapitel 16 Bestimmte Verteilungen 365

Diskrete Verteilungen 365

Die diskrete Gleichverteilung 366

Binomialverteilung 368

Poissonverteilung 372

Stetige Verteilungen 375

Stetige Gleichverteilung 376

Exponentialverteilung 379

Die kumulative Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung 380

Kapitel 17 Der Zentrale Grenzwertsatz und das Gesetz der großen Zahlen 383

Der Zentrale Grenzwertsatz 383

Das Hauptergebnis des Zentralen Grenzwertsatzes 383

Warum der Zentrale Grenzwertsatz funktioniert 384

Das Gesetz der großen Zahlen 387

Wer will wieder Würfel werfen? 388

Teil V Finanzmathematik 389

Kapitel 18 Zinsrechnung 391

Die Zinsrechnung – aller guten Dinge sind drei 391

Die Zinsen 391

Das Kapital 392

Die Laufzeit 392

Verzinsungsmodelle 393

Lineare Verzinsung 393

Zinseszinsrechnung – verzins mir die Zinsen! 394

Aus Eins mach Vier: Eine Formel und vier Probleme 396

Die Frage nach dem Endkapital 397

Die Frage nach dem Zinssatz 397

Die Frage nach der Laufzeit 398

Die Frage nach dem Anfangskapital 398

Die vier Fragen in der linearen Verzinsung 399

Den Barwert des Kapitals berechnen 400

Die unterjährige Verzinsung – kein Untergang 402

Effektiver und nomineller Zinssatz 403

Gemischte Verzinsung 405

Variable Verzinsung 407

Stetige Verzinsung 408

Kapitel 19 Rentenrechnung 411

Rentenzahlungen 411

Vor- und nachschüssige Rente 412

Vorschüssige Rentenrechnung 412

Nachschüssige Rentenrechnung 413

Vergleich von vorschüssiger und nachschüssiger Rente 414

Aus Eins mach Vier (II): Eine Formel und vier Probleme 416

Die Frage nach dem Endkapital 416

Die Frage nach dem Anfangskapital 416

Die Frage nach der Höhe der Rente 417

Die Frage nach der Laufzeit 418

Nichtübereinstimmung von Zins- und Rentenperiode 418

Unterjährige Rente mit jährlicher Zinsverrechnung 419

Jährliche Rente mit unterjähriger Zinsverrechnung 422

Alle Dagobert Ducks aufgepasst! Kapitalaufbau und Kapitalverzehr 423

Kapitalaufbau: Die Sparerformel 423

Kapitalverzehr 424

Wachsende Renten 425

Arithmetisch veränderliche Rente 426

Geometrisch veränderliche Rente 428

Bis zum bitteren Ende: Ewige Renten 429

Barwert bei ewig gleich bleibender nachschüssiger Rente 430

Barwert bei ewig gleich bleibender vorschüssiger Rente 431

Kapitel 20 Tilgungsrechnung 433

Tilgungsrechnung – Die Zerlegung des Darlehens 433

Die Bausteine der Tilgungsrechnung 434

Tilgungsplan 435

Tilgungsarten 435

Ratentilgung 436

Berechnung einzelner Tilgungselemente ohne gesamten Tilgungsplan 438

Annuitätentilgung 440

Direkte Berechnung einzelner Tilgungsbausteine 443

Die Länge des Darlehens 445

Kapitel 21 Kurs- und Renditenrechnung 447

Wertpapierhandel 447

Gestatten – Mein Name ist Bond Kurs und Rendite einer Anleihe 448

Berechnung von Anleihen 449

Kursermittlung 450

Renditeermittlung 452

Zero-Bond 453

Aktienhandel 455

Einfache versus logarithmische Rendite 455

Kapitel 22 Investitionsrechnung 457

Zahlungsströme bestimmen 457

Höhe des Kalkulationszinssatzes 459

Kapitalwertmethode 460

Beurteilung der Rentabilität mit der Kapitalwertmethode 462

Interner Zinssatz 464

Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition 465

Amortisationsdauer 466

Teil VI Der Top-Ten-Teil 469

Kapitel 23 Zehn Schritte beim Lösen von Textaufgaben 471

Ein Bild zeichnen 471

Eine Liste erstellen 471

Variablen für Zahlen wählen 471

Wörter in Zeichen übersetzen 472

Den letzten Satz beachten 472

Eine Formel finden 472

Mit Ersetzungen vereinfachen 473

Eine Gleichung lösen 473

Den Sinn prüfen 473

Die Genauigkeit kontrollieren 473

Kapitel 24 Zehn Dinge, mit denen Sie in der Prüfung nicht durchkommen 475

Geben Sie für eine Prüfungsfrage zwei Lösungen an 475

Schreiben Sie in Prüfungen unleserlich 475

Zeigen Sie Ihren Lösungsweg in der Prüfung nicht auf 475

Lösen Sie nicht alle Prüfungsaufgaben 476

Machen Sie Ihre Lerngruppe für Ihre schlechten Noten verantwortlich 476

Sagen Sie Ihrem Dozenten, dass Sie eine gute Note in Wirtschaftsmathematik brauchen, um Ihre Flamme zu beeindrucken 476

Beschweren Sie sich, dass Prüfungen am frühen Morgen nicht fair sind, weil Sie ein Morgenmuffel sind 476

Stellen Sie das gesamte Notensystem infrage 476

Lösen Sie während der Prüfung den Feueralarm aus 477

Verwenden Sie dieses Buch als Entschuldigung 477

Stichwortverzeichnis 479